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#1 28-06-2010 17:05:29
- banach
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- Messages : 8
variable comlexe calcul de residus
bonjour tous
lors de calcul d'un integrale generalisé je me trouve bloqué par le calcul deu residus de la fonctiuon f defenie par
f(z)=sin(1/z)/(z^2+1) en 0 singularité essentielle
j'ais effectué un D en serie de Laurent mais je n'arrive pas a calculer le coefficient de 1/z
merci d'avance
Hors ligne
#2 28-06-2010 20:35:44
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : variable comlexe calcul de residus
Bonsoir,
Effectivement, on cherche le développement en série de Laurent....
[tex]\sin(1/z)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{-(2n+1)}[/tex]
[tex]\frac{1}{1+z^2}=\sum_{p\geq 0}(-1)^p z^{2p}[/tex]
Et donc
[tex]\frac{sin(1/z)}{1+z^2}=\sum_{n,p\geq 0}\frac{(-1)^n(-1)^p}{(2n+1)!}z^{-(2n+1)+2p}[/tex]
On cherche le coefficient devant 1/z, c'est-à-dire celui pour lequel -(2n+1)+2p=-1, soit encore p=n.
Le résidu de ta fonction est donc (aux erreurs de calcul près!)
[tex]\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^{n+n}}{(2n+1)!}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)!}[/tex]
On peut encore calculer cette dernière somme qui fait sh(1).
Fred.
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