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Léo

Invité

décomposition en éléments simples

Bonjour à tous !
Je suis actuellement en train de réviser en vue de passer un concours, et je suis tomber sur une question que je n'arrive pas à résoudre. Voici l'énoncé :

  Décomposer en éléments simples la fonction f(x)=  [tex]\frac{x²-1}{x²-4}[/tex]   puis en donner une primitive.

Je n'arrive pas à la décomposer, je suis bloqué...

Pouvez-vous l'aider s'il vous plait ?

Merci d'avance.

yoshi

Modo Ferox

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Re : décomposition en éléments simples

Salut Léo,

Bonne chance...
[tex]\frac{x^2-1}{x^2-4}=1+\frac{3}{x^2-4}=1+\frac{3}{4(x-2)}-\frac{3}{4(x+2)}[/tex]

Ça te suffit ?

@+

Léo

Invité

Re : décomposition en éléments simples

Salut Yoshi

Oui, ta réponse m'a éclaircie, je te remercie infiniment =)

Bonne soirée

Packard

Invité

Re : décomposition en éléments simples

Bonjour, n'oublie pas tout de même que  [tex]{x}^{2}-4=\left(x-2\right)\left(x-2\right)[/tex]
ce qui te permet d'écrire  [tex]\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}-4}=\frac{a}{x-2}\,+\,\frac{b}{x+2}[/tex]
trouuve a et b ensuite tu cherche la primitive !
Cordialement.

yoshi

Modo Ferox

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Re : décomposition en éléments simples

Bonsoir,

Je sais, ça ne s'adresse pas à moi, mais qui sait ?

Bonjour, n'oublie pas tout de même que  [tex]{x}^{2}-4=\left(x-2\right)\left(x-2\right)[/tex]

En fait, c'est (x-2)(x+2), mais c'est une faute de frappe...
1. Parce que lorsque j'écris :

[tex]1+\frac{3}{x^2-4}=1+\frac{3}{4(x-2)}-\frac{3}{4(x+2)}[/tex]

je n'utilise pas cette identité remarquable ?
2. Donc le "tout de même" est vraiment de trop...
3. J'adore les Dr Yaka Fokon :
   

[tex]\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}-4}=\frac{a}{x-2}\,+\,\frac{b}{x+2}[/tex]
   trouuve a et b ensuite tu cherche la primitive !

A moi, ça n'avait pas échappé...
   Par contre, je ne l'ai pas aiguillé, moi, vers cette solution... Pourquoi donc ?
   Parce que je ne suis pas contenté du conseil (classique et à ne pas perdre de vue au demeurant) et que je suis allé voir plus loin :
    [tex]\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}-4}=\frac{a}{x-2}\,+\,\frac{b}{x+2}=\frac{a(x+2)+b(x-2)}{x^2-4}=\frac{(a+b)x+2(a-b)}{x^2-4}[/tex]

    Ce qui, par identification, nous conduit à [tex]x^2-1=(a+b)x+2(a-b)[/tex]
    Ou encore [tex]1x^2+0x-1= 0x^2+(a+b)x+2(a-b)[/tex]
    Dis-moi Packard, tu ne vois pas comme un léger problème, là ?

4. Pourtant c'est bien cette méthode que j'ai utilisée en réduisant d'abord le degré du numérateur...
     [tex]\frac{x^2-1}{x^2-4}=\frac{x^2-4+3-}{x^2-4}=\frac{x^2-4}{x^2-4}+\frac{3}{x^2-4}=1+\frac{3}{x^2-4}[/tex]
    Et maintenant, oui :
    [tex]\frac{3}{x^2-4}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+2}[/tex]
    qui nous conduit à  [tex]b = -a \text{  et  } a={3 \over 4}[/tex]

@+

Packard

Invité

Re : décomposition en éléments simples

Oui c'est tout a fait juste bien joué ,mais mon intervention n'avait pas pour but de te corriger c'etait pour donner un cadre entre guillemet à la personne qui avait posé la question et qui se sentais perdu sur la notion de décomposition simple ,donc ne prend pas mal mon intervention !!!
Cordialement.

yoshi

Modo Ferox

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Re : décomposition en éléments simples

Re,

Bien compris, cher ami intervenant...
Mais en l'occurrence, l'enfer étant pavé de bonnes intentions (c'est bien connu), hélas ton intervention le conduisait droit dans le mur : c'est ça que j'ai voulu signaler.
Avec ta méthode, ici il n'y avait pas de solution pour a et b réels : cela était dû au fait que les degrés du dénominateur et du numérateur étaient les mêmes. ok ?

Dans tout autre cas similaire, on se retrouvera devant la même impossibilité, pour la même raison...

J'ai commencé à chercher une solution en partant comme tu l'as fait (ce qui a été ma première idée et que j'ai vite abandonnée, mettant le doigt sur la plaie) mais avec ax+b à la place de a et cx+d à la place de b.
Je vais y retourner, mais c'est d'un ch... Il doit y avoir une solution avec des binômes.
Et encore... Pour intégrer (ax+b)/(x-2) le plus simple sera quand même de l'écrire sous la forme c + d/(x+2)...

@+

PS

En partant de a = 2 et c = -1, je tombe sur b= -13/4 et d =-11/4
D'où :
[tex]\frac{x^2-1}{x^2-4}=\frac{8x-13}{4(x-2)}-\frac{4x+11}{4(x+2)}=2+\frac{3}{4(x-2)}-1-\frac{3}{4(x+2)}=1+\frac{3}{4(x-2)}-\frac{3}{4(x+2)}[/tex]
Et on se retrouve au même point que la solution que j'ai proposée...
Sauf qu'avec la méthode classique que je viens d'utiliser :
1. Il fallait penser que les numérateurs étaient des binômes du 1er degré,
2. Il fallait présupposer les formes 2x+b et -x+d, sinon on se retrouvait avec 3 équations et 4 inconnues
3. Il fallait réappliquer la méthode pour décomposer les résultats ou alors avoir l'habitude de jouer les "Dédé la Bricole"...
    En effet, il fallait voir 8x - 13 = 8x - 16 + 3 = 2[4(x -2)]+ 3 et 4x + 11 = 4x + 8 + 3 = 4(x+2) + 3...

Je me mets à la place de notre ami, s'il n'a pas l'habitude de "lever le nez du guidon", alors il ne trouvera pas !
Alors que, s'il sait que, dans le cas présent, il faut baisser le degré du dénominateur, il trouve facilement...
Il n'a pas demandé plus d'explications sur le comment de la décomposition, donc je n'ai pas insisté puisque probablement, il n'est pas repassé depuis...

freddy

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Re : décomposition en éléments simples

Salut Packard,

il y a un "truc" vachement important en pédagogie qui est de ne jamais laisser trainer des "erreurs", car on a souvent tendance à s'en souvenir et on finit par à oublier que c'est faux.

Donc Yoshi (qui n'a pas besoin de mon soutien, tant s'en faut) a raison de corriger tout de suite, d'autant qu'il est en plus dans son rôle de modérateur.

Pour en revenir à ton rappel, il semble que tu aies oublié les règles élémentaires qui régissent la division des polynômes à coefficient dans [tex]C[/tex] selon les puissances décroissantes :

si P est de degré p et Q de degré q, alors P/Q = polynôme de degré (p-q)+R/Q, avec R polynôme de degré < q.

Ensuite, on cherche les racines que Q (qui existent dans [tex]\C[/tex]) et on décompose R/Q en éléments simples de première (racines réelles de Q) et de seconde espèce (racines complexes de Q).

A te lire.