Forum de mathématiques - Bibm@th.net

karimtolstoi

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borne superieure d'une fonction riemann integrable

salut, svp je bloque sur une question je vous donne l'enoncé et par suite ce que j'ai fais voila ;
soit f une fonction de R à valeurs dans R, soit x [tex]\in[/tex] R on pose Mf(x)=sup(1/2r*[tex]\int^{x+r}_{x-r}[/tex]f(t)dt)  pour r>0 ; la question est montrer que Mf(x)=0   [tex]\forall[/tex] x [tex]\in[/tex] R ou bien
il existe a de R , b ,c strictement positifs tels que Mf(x) [tex]>[/tex] c/(|x-a|+b)  [tex]\forall[/tex] x [tex]\in[/tex] R.
bon j'ai essayé avec la caracterisation de la borne superieure de l'ensemble des integrales de f sous la forme citée ci dessus, les formules de la moyenne mais rien à faire ca n'assure pas l'éxistnce de trois reels .
voila j'attends vos idees avec plaisir merci pour votre aide.

thadrien

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Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

Salut,

J'ai comme un doute : es-tu sûr d'avoir recopié correctement l'énoncé ? Es-tu sûr qu'il n'y ait pas d'hypothèses sur f ? Es-tu sûr que ce soit le sup que l'on te demande et pas la limite supérieure ?

karimtolstoi

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Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

slt,
thadrien je confirme l'énoncé Mf(x)=sup(1/2r [tex]\int^{x+r}_{x-r}[/tex] f(t)dt),r>0.
merci pour votre réponse.

thadrien

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Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

slt,
thadrien je confirme l'énoncé Mf(x)=sup(1/2r [tex]\int^{x+r}_{x-r}[/tex] f(t)dt),r>0.
merci pour votre réponse.

Salut,

Je crois qu'il y a un problème dans ton énoncé. En effet :

Soit [tex]f(t) = t^2[/tex]. Soit x de R. [tex]\frac{1}{2 r} \int^{x+r}_{x-r} f(t) dt = \frac{6 r x^2 + 2 r ^3}{6 r}[/tex]. [tex]\lim_{r \to \infty} \frac{6 r x^2 + 2 r ^3}{6 r} = +\infty[/tex]. Donc [tex]\lim_{r \to +\infty} \frac{1}{2 r} \int^{x+r}_{x-r} f(t) dt = +\infty[/tex]. Donc le sup est infini.

A+

karimtolstoi

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Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

slt; Thadrien le cas où Mf= +[tex]\infty[/tex]  n'est pas un contre exemple quitte a dire que l'application Mf est a valeurs dans R [tex]\cup[/tex] {+[tex]\infty[/tex]} voila par contre la fonction f est positive j'ai oublié de le signaler ; je confirme. merci d'avance.

thadrien

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Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

Salut,

C'est quoi pour toi un contre-exemple :

la question est montrer que Mf(x)=0  [tex]\forall[/tex] x [tex]\in[/tex] R

Je montre que c'est égal à l'infini et tu me dis que ce n'est pas un contre-exemple ???

Effectivement, le fait que f soit positive est une donnée importante. Mais la fonction que je t'ai donnée est positive.

karimtolstoi

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Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

slt,
la question est de montrer que: soit Mf est la fonction nulle soit que  [tex]\exists[/tex] a,b,c [tex]\in[/tex] R,R+*,R+* tels que Mf(x)>c/(|x-a|+b) pour tout x , j'éspère que l'enoncé soit claire maintenant . dans le cas ou tu as pris f(t)=t² c'est une fonction positive qui n'est pas bornée elle a verifié la deuxieme condition donc je pense qu'on devrait distinguer sur les cas où f est bornée ou non .
A+

freddy

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Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

Salut,

un petit examen de la page de ce lien http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_Riemann te permettra de voir ce qui ne va pas dans ton énonce.

Bb

essai

Invité

Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

Bonjour,
Tout d'abord, cela fait quelques temps que je zone sur ce forum en tant qu'invité et je me laisse également aller à répondre quand je peux aider (et surtout, quand j'y arrive :) !). Je trouve dommage que dans la plupart des sujets qui commencent à être un peu ardus les discussions s'égarent souvent en termes peu sympathiques et en manque de confiance...En plus, les gens disent rarement merci, c'est dommage parce qu'il peut y avoir du potentiel avec autant de gens ferus de mathématiques !!

Bref, ici encore cela se vérifie : il n'y a pas d'erreur d'énoncé, à ma connaissance puisque je pense avoir trouvé une solution (bien sûr il peut y avoir des erreurs et je remercie par avance celui qui les trouvera)! Voilà la solution que je propose (il doit y en avoir d'autres).

Comme dans tous mes posts, je décris ma façon de penser : c'est plus facile après d'y arriver.
Je commence donc par me dire qu'il existe y tel que :  [tex]Mf(y) \neq 0[/tex]
je ne sais pas quoi faire donc je traduit :
    [tex]\exists r_0>0, \frac{1}{2r_0}\int_{y-r_0}^{y+r_0}f = A >0[/tex]

Là je me dis qu'il faut travailler avec tous les x et montrer l'inégalité. Le premier réflexe est de se ramener à x et r et de les relier avec y et  [tex]r_0[/tex] dans :
[tex]\frac{1}{2r}\int_{x-r}^{x+r}f[/tex]
Première idée, couper en 3 l'intégrale pour trouver A au milieu..Mes essais sont infructueux. Je me dis donc qu'il faut trouver un r spécial (car si ça marche pour ce r là on en déduit que ça marche pour le sup !! Propriété essentielle du sup et souvent le genre de raisonnement à faire).
Deuxième idée : appliquer cela en [tex]r_0[/tex]. Mais bof car on a aucune donnée entre x et y.
Dernière (et bonne idée): regarder vers quoi on veut aller donc on voit que ça va dépendre du signe de x-y et en plus il y a f>0 donc on va poser :
Si x>y alors : [tex]r=x-y+r_0>0[/tex] et on a donc :
[tex]\frac{1}{2r}\int_{x-r}^{x+r}f  =\frac{1}{2r}\int_{y-r_0}^{2x-y+r_0}f[/tex]
Et là on se dit que c'est bon car on se sert de f>=0 et 2x-y>=y donc :
[tex]\frac{1}{2r}\int_{x-r}^{x+r}f \geq \frac{r_0}{(x-y)+r_0}.\frac{1}{2r_0}\int_{y-r_0}^{y+r_0}f  = \frac{Ar_0}{(x-y)+r_0}[/tex]

Le cas où x<y se traite pareil mais par le bas de l'intégrale et pas le haut. Au final : a=y, c=Ar0 et b=r0.

J'espère que c'est juste et surtout, que c'est assez clairement expliqué.
Bonne journée

freddy

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Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

Bonjour ami Essai,

je ne souscris pas à ton raisonnement pour la seule et unique raison que je ne vois pas le lien entre les hypothèses (à savoir que f est une fonction R dans R Riemann intégrable) et ta conclusion (partielle). En outre, je te "reprocherais" amicalement de supposer le résultat pour y arriver.

En effet, la question que tu ne traites pas est la suivante :

Soit f comme ci dessus.  Montrez alors que [tex]\text{soit}\;Mf\left(x\right)=0 \ \forall x \in \R\;\text {ou alors}\;\exists A(x) >0\;tq\;Mf\left(x\right) > A\left(x\right)=\frac{c}{|x-a|+b}  ...[/tex]

J'aurais plaisir à prendre connaissance de tes réponses.

A plus.

Dernière modification par freddy (31-05-2010 16:02:54)

essai

Invité

Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

Salut freddy,

Ma réponse n'est pas partielle mais je suis d'accord que j'aurai pu plus détaillé...

J'ai supposé qu'il y avait un y dont le Mf(y) n'était pas nul et j'ai trouvé que dans ce cas pour tout x de R il existait un r (x-y+r0) tel que la quantité  [tex]\frac{1}{2r}\int_{x-r}^{x+r}f[/tex] est strictement supérieure à [tex]\frac{c}{|x-y|+b}[/tex]. Avec les constantes c,y et b indépendantes du x pris au départ. Or, si un tel r existe alors, par définition du Sup, Mf(x) est également plus grande strictement que ça.

Si jamais il n'existe aucun y tel que Mf(y) alors on est dans le premier cas !

Au final soit Mf est toujours nul sur R soit il existe les 3 constantes qui vérifient l'inégalité. Ceci est exactement ce qui est attendu par l'énoncé.

En revanche, je ne pars pas de la solution mais je dis qu'en m'en inspirant j'ai pensé à introduire r=x-y+r0 si x>y et r=y-x+r sinon.

J'espère que mes explications sont claires...
Bonne après-midi

essai

Invité

Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

Ah oui, désolé, j'ai oublié une partie de la réponse...

Pour ce qui sont des hypothèses, je m'en sers lorsque mes bornes vont de y-r0 à 2x-y+r0 pour dire (comme f est positive) que l'intégrale entre ces bornes est supérieure à l'intégrale entre y-r0 et y+r0 (car x>y).
Pour ce qui est du fait que f soit riemman intégrable sur R cela joue dans le fait que les manipulations sur les bornes de l'intégrale sont justifiées.

J'espère avoir répondu aux questions... Mais bien sûr, il se peut que j'ai faux, là je ne vois pas où mais surtout allez-y avec des pincettes, on ne sait jamais...

Amicalement

freddy

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Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

Re,

c'est bien ce qui me semblait : où as tu vu dans l'énoncé que f est positive ?

Merci par avance de ta réponse.

essai

Invité

Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

Ah, ok, excuse, je n'avais pas compris que c'était le point bloquant.
En fait, c'est le deuxième ou troisième post de karimtolstoi où il dit qu'il a oublié de le mettre.
Oui, s'il n'avait pas dit ça ma démo tombe complètement à l'eau ...
A +

freddy

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Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

Au temps pour moi, je n'avais pas vu le rajout.

Donc on a une fonction positive Riemann intégrable sur R (e qui veut dire qu'elle est aussi bornée), je suis alors OK sur le reste qui n'est presque plus qu'une question de manipulation algébrique.

Merci.

essai

Invité

Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

De rien, en tout cas c'est sympa d'échanger comme ça, ça pousse à réfléchir, parce que mine de rien j'ai gambergé quand t'as dit qu'il y avait une erreur ! J'adore, sympa ce forum !

Bonne soirée

sidiladji

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Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

Salut je suis ivoirien mais je voudrais
    que si quelqu'un a des informations et surtout des sujets
qui peuvent me permettre de préparer le concours de L'ENSEA
            JE COMPTE SUR VOTRE BONNE VOLONTE
                                                    MERCI

freddy

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Re : borne superieure d'une fonction riemann integrable

Salut,

va voir là : http://www.concours-ensea.org/Portail/

Je pense que yoshi va déplacer ton post.

Bb