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Neworleans

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Champ vectoriel et différentielle (L3)

Bonjour !
J'en appelle à vos connaissances pour éclairer ma lanterne sur un exercice (corrigé qui pis est) de géométrie différentielle :

On introduit [tex]A \in M_n(\mathbb{R})[/tex]. On construit [tex]\mathbb{A}[/tex] le champ de vecteurs sur [tex]\mathbb{R}^n[/tex] tel que [tex]\forall x \in \mathbb{R}^n, \mathbb{A}_x = A\cdot x[/tex]
Le but de l'exercice est de montrer que si [tex]A,B \in M_n(\mathbb{R})[/tex] alors [tex][\mathbb{A}, \mathbb{B}]_x=(BA-AB) \cdot x[/tex]

Comme écrit dans la correction, on considère une fonction [tex]f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/tex] de classe [tex]C^{\infty}[/tex].

D'après la définition d'une différentielle dans le cadre de la géométrie différentielle [tex]\mathbb{A}(f)_x = \mathrm{d}f_x(A\cdot x)[/tex]

La correction suggère alors de dériver à nouveau :

[tex]\mathrm{d}{(\mathbb{A}(f))}_x(y) = \mathrm{d}^2_x{(Ax,y)} + \mathrm{d}f_x(Ay)[/tex] ce que la correction justifie "d'après la règle de Leibniz"

C'est là que tout s'obscurcit puisque je n'ai pas réussi à établir cette dernière égalité ni à voir le lien avec la fameuse règle de Leibniz et surtout je n'ai pas compris ce que représentait [tex]\mathrm{d}^2_x{(Ax,y)}[/tex], est ce [tex]u \mapsto \mathrm{d}{(\mathrm{d}{(Ax)})}_x(y,u)[/tex] (ce qui donne l'application linéaire nulle) ?

J'avoue être un peu perdu sur cet énoncé qui me fait perdre tous mes moyens, même devant la correction...

Si vous aviez quelques explications au sujet de cette démonstration je vous en serais très reconnaissant.

Neworleans

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Re : Champ vectoriel et différentielle (L3)

En faisant un bête calcul (honte à moi !) j'ai fini par trouver :

on a : [tex]\mathrm{d}f_x(Ax) = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial x_i}\right)_x \cdot a_i(x)[/tex]

où [tex]a_i(x)[/tex] est le produit de la i-ème ligne de la matrice [tex]A[/tex] par le vecteur [tex]x[/tex]...

Redifférentier cette relation en x et calculer cette nouvelle différentielle en y revient à calculer

[tex]\mathrm{d}(\mathbb{A}(f)_x)_x(y) = \mathrm{d}\left(\sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial x_i}\right)_x \cdot a_i(x)\right)_x(y)[/tex]

Remarquons que les [tex]a_i[/tex] sont des formes linéaires donc [tex]\mathrm{d}(a_i)_x = a_i(x)[/tex]

Alors, on peut effectivement appliquer la règle de Leibniz : le produit de fonctions est : [tex]\left( \frac{\partial f}{\partial x_i}\right)_x \cdot a_i(x)[/tex]

[tex]\mathrm{d}\left(\sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)_x \cdot a_i(x)\right)_x(y) = \sum_{i=1}^n\mathrm{d}\left(\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)_x \cdot a_i(x)\right)(y)[/tex]

L'application de ladite règle de Leibniz donne :

[tex]\mathrm{d}\left(\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)_x \cdot a_i(x)\right)(y) = \mathrm{d}\left(\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)_x\right)_y \cdot a_i(y) + \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)_x \cdot a_i(y)[/tex]

Ce qui donne pour tout i de 1 à n

[tex]\sum_j^n\Biggl(\left(\frac{\partial{^2f}}{\partial x_i \partial x_j}}\right)_x \cdot a_i(x) \cdot y_j\Biggr) + \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)_x \cdot a_i(y)[/tex]

Soit en sommant sur i variant de 1 à n

[tex]\mathrm{d}^2f(Ax,y) + df_x(Ay)[/tex]

En prenant [tex]y = \mathbb{B}_x[/tex] la conclusion s'obtient assez facilement

Dernière modification par Neworleans (30-05-2010 19:04:27)

Neworleans

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Re : Champ vectoriel et différentielle (L3)

Pour préciser mon interrogation au sujet de "[tex]\mathrm{d}_x^2(Ax,y)[/tex]" il y avait simplement une faute de frappe (omission du [tex]f[/tex])