Forum de mathématiques - Bibm@th.net

dominiqueZEro · 25-05-2010 16:53:35

On considère deux variables aléatoires X et Y de densité :

On considère la fonction f(x,y) = 1/2*(x+ y) exp(−(x + y)) avec x>=0 et y>=0.

X et Y sont elles indépendantes?

J'ai calculé Leur densité respectives et je les ai comparés à f(x,y) et je pense qu'elles ne sont pas indépendantes mais je ne suis pas sur.

Calculer la loi de X+Y XY X/Y
Je sais qu'il faut poser Z=X+Y
Puis calculer P(Z<z)=P(X+Y<z)

Mais après je ne vois pas.

Pouvez vous m'aider?

Merci

Dernière modification par dominiqueZEro (25-05-2010 17:44:20)

freddy · 25-05-2010 17:37:06

Salut !

deux va sont indépendantes si et seulement si f(x,y)=f(x)*f(y) pour tout x et y convenablement définies.

Le vérifies tu ? Peux tu me donner les deux densités de probabilités des va X et Y ?

Tout le reste est de la définition de cours à appliquer.

A te lire à nouveau.

dominiqueZEro · 25-05-2010 17:55:15

J'ai trouve pour la densité marginale de X :

[tex]f_X=\int_0^{+\infty}f(x,y)dy=\int_0^{+\infty}1/2(x+y)exp(-(x+y))=1/2[-(1+x+y)exp(-(x+y))]_0^{+\infty}=1/2(1+x)exp(-x)[/tex]

J'ai trouve pour la densité marginale de Y :
[tex]f_Y=\int_0^{+\infty}f(x,y)dx=\int_0^{+\infty}1/2(x+y)exp(-(x+y))=1/2[-(1+x+y)exp(-(x+y))]_0^{+\infty}=1/2(1+y)exp(-y)[/tex]

Donc [tex] f_Xf_Y[/tex] N'est pas egal [tex] à f(x,y)[/tex]

Je ne sais pas si c'est correct
C'ets vraiment pour la loi de X+Y et XY , X/Y que je trouve pas.

Dernière modification par dominiqueZEro (25-05-2010 17:57:11)

freddy · 25-05-2010 20:28:52

Re,

OK pour le 1.

Pour la loi de la somme, tu formes la v.a réelle positive Z=X+Y. Donc pour Z =z, tu vois bien que pour "X=x" >= 0 on a "y = x-z".

Donc on en déduit la densité [tex]f(z)=f(x,x-z)=\frac12\left(z\right)e^{-z}[/tex]

Qu'en penses tu ?

Peux tu trouver maintenant la loi du produit ?

dominiqueZEro · 25-05-2010 20:48:24

Je ne savais pas qu'on avait le droit de faire ca, pourquoi s'embete t on alors à calculer le produit de convolution quand X et Y sont independantes

Pour Z=XY, Y=Z/X, f(x,z/x)=(x+z/x)exp(-(x+z/x) et pareil pour Z=X/Y

Par contre x ou z peuvent etre nuls

freddy · 25-05-2010 20:52:34

Re,

attention, tu avais déjà la loi de la somme, alors heu ... tu vois ...

Pour le produit, j'infirme, tu n'as pas correctement exprimé la densité : tu dois faire apparaître z tout seul ! Idem pour la loi quotient !

Allez, au taf, et que ça saute !

Dernière modification par freddy (26-05-2010 08:44:29)

dominiqueZEro · 25-05-2010 21:08:10

Je ne vois pas comment on fait disparaitre les x, quelle est la methode

Pour la sommme les x disparaissaient grace au calcul mais la je vois pas.

Dernière modification par dominiqueZEro (25-05-2010 21:08:58)

freddy · 25-05-2010 21:21:38

Re,

il faut que tu raisonnes un peu : l'événement "Z=z" est réalisé par l'événement "X=x" et" Y=z/x" pour tout x non nul, non ? Et "Z=0" impose que soit "X=0", soit "Y=0", OK ?

dominiqueZEro · 25-05-2010 21:25:33

Oui je suis d'accord mais les z ne sont pas forcement entiers

dominiqueZEro · 25-05-2010 21:38:20

Alors comment fait on pour faire disparaitre les z?

freddy · 25-05-2010 22:10:43

je te rappelle que tu as affaire à des variables aléatoires réelles positives ...

Hummm ...

dominiqueZEro · 25-05-2010 22:12:31

Et alors? Je voudrais que vous m'expliquiez comment faire parce je ne vois pas.

freddy · 25-05-2010 22:28:37

Re,

en simple, je te rappelle que X, Y et Z sont des variables continues, et non discrètes. Donc tu dois sommer avec des va continues (théorie de la mesure et intégration ), quand x parcourt l'intervalle [tex] ]0, +\infty[ [/tex].

C'est comme cela que tu auras la densité de probabilité de la loi de Z=XY.

Est ce plus clair comme cela ?

N'hésite pas à demander, je ne connais pas vraiment ton niveau sur ces questions.

dominiqueZEro · 25-05-2010 22:32:58

Je n'ai pas fait de théorie de la mesure

Je vais abandonner car je n'ai toujours pas compris et que vous ne voulez peut être pas me donner la réponse et je n'aurai pas le loisir de comprendre demain.

Merci.

freddy · 25-05-2010 22:43:20

"donner la réponse" : non, je ne sais pas faire. T'aider à la trouver, oui, ça je sais faire.

En clair, je te suggère de calculer [tex]f(z)=\int_0^{+\infty}f(x,z/x)\,dx[/tex]

Dernière modification par freddy (25-05-2010 22:44:19)

dominiqueZEro · 25-05-2010 22:49:50

Bah pourequoi on a pas fait ce calcul pour Z=X+Y

freddy · 25-05-2010 22:53:14

Salut,

si tu penses que ça a un sens, fais le !

dominiqueZEro · 25-05-2010 22:56:14

POURQUOI On ecrit f(z)= int () dx et non dz?

freddy · 25-05-2010 22:59:24

PARCE QUE la variable d'intégration est x, et pas z !

dominiqueZEro · 25-05-2010 23:00:55

Oui c'est la meme question, pourquoi la variable d'integration est x?

freddy · 26-05-2010 07:39:08

Salut !

car tu vois bien que l'événement "Z=z" est obtenu par l'ensemble des couples réel positifs (x,y) liés fonctionnellement entre eux par la relation [tex]y=\frac{z}{x}[/tex], z étant fixe. Je dois donc calculer la densité f(z) en tenant compte de tous les x qui parcourent l'intervalle réel strictement positif, donnant les y correspondant.

Je ne peux pas dire plus simplement.

Dernière modification par freddy (26-05-2010 08:35:51)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 25-05-2010 16:53:35

lol

#2 25-05-2010 17:37:06

Re : lol

#3 25-05-2010 17:55:15

Re : lol

#4 25-05-2010 20:28:52

Re : lol

#5 25-05-2010 20:48:24

Re : lol

#6 25-05-2010 20:52:34

Re : lol

#7 25-05-2010 21:08:10

Re : lol

#8 25-05-2010 21:21:38

Re : lol

#9 25-05-2010 21:25:33

Re : lol

#10 25-05-2010 21:38:20

Re : lol

#11 25-05-2010 22:10:43

Re : lol

#12 25-05-2010 22:12:31

Re : lol

#13 25-05-2010 22:28:37

Re : lol

#14 25-05-2010 22:32:58

Re : lol

#15 25-05-2010 22:43:20

Re : lol

#16 25-05-2010 22:49:50

Re : lol

#17 25-05-2010 22:53:14

Re : lol

#18 25-05-2010 22:56:14

Re : lol

#19 25-05-2010 22:59:24

Re : lol

#20 25-05-2010 23:00:55

Re : lol

#21 26-05-2010 07:39:08

Re : lol

Réponse rapide

Pied de page des forums