Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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- Contributions : Récentes | Sans réponse
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#1 20-05-2010 17:57:13
- Picatshou
- Membre
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- Messages : 272
algébre linéaire
bonsoir les amis,
dans un exercice d'algèbre je suis bloqué dans la chose suivante:
soit u un endomorphisme de E (espace vectoriel R²)et A sa matrice associé dans la base (e1,e2) de E
tq:A=[tex]\begin{pmatrix}a & b \\c & d \end{pmatrix}[/tex]
tq:a,b,c et d sont des réels
alors j'ai tout d'abord montré que : u est normal ssi :(b-c)(b+c)=0 et (b-c)(a-d)=0
et j'ai déduit que si:b=c alors u est symétrique
Mais je n'ai pas pu rien conclure pour [tex]b\not = c[/tex]
en fait l'exercice demande de déduire que u n'admet pas des valeurs propres réelles et qu'il existe j>0 et g dans R
tq A=[tex]\begin{pmatrix}\cos g & -\sin g \\\sin g & \cos g\end{pmatrix}[/tex]
est ce quelqu'un puisse m'aider ?
merci d'avance!
----------------------------------------
[EDIT @ Yoshi]
Hey Picatshou,
Je ne me lasse pas de jouer au Prof (Chassez le naturel, il revient au galop !)
Une matrice utilise ce code LaTex :
\begin{pmatrix}\cos g & -\sin g \\ \sin g & \cos g \end{pmatrix}
J'ai donc corrigé l'écriture de tes matrices... ;-)
@+
Dernière modification par Picatshou (20-05-2010 17:58:29)
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#4 21-05-2010 08:55:48
- Picatshou
- Membre
- Inscription : 01-11-2009
- Messages : 272
Re : algébre linéaire
Bonjour les amis ,
salut M. Fred je suis désolé j'ai oublié j en efffet, il existe j>0 tq :
A = j [tex]\begin{pmatrix}\cos g & -\sin g \\\sin g & \cos g\end{pmatrix}[/tex]
et pour les informations sur u elles sont complètes.
En fait,
u est un endomorphisme de E où B=(e1,e2) est une base orthonormée de E.
Merci encore une fois pour l'aide!
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#5 21-05-2010 09:51:18
- essai
- Invité
Re : algébre linéaire
re -bonjour Picatshou (déjà vu sur ton problème algèbre...)
Alors, comme b n'est pas égal à c tu as : b=-c et a=d. Ta matrice est donc :
[tex]\begin{pmatrix}a & b \\ -b & a \end{pmatrix}[/tex]
et on a det(A-pI) = p²-2ap+a²+b² dont le déterminant est strictement négatif (car b non nul sinon b=c=0) donc pas de valeurs propres réelles.
Pour conclure, tu divises par le déterminant de A (j=\a²+b²) et tu obtient une matrice avec deux coefficients dont la somme des carrés vaut 1 et donc tu as ton g .
J'espère avoir été clair.
Bonne journée
#6 21-05-2010 10:05:01
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : algébre linéaire
et pour les informations sur u elles sont complètes.
En fait,
u est un endomorphisme de E où B=(e1,e2) est une base orthonormée de E.
Pas vraiment Picatshou, car entre les lignes je comprends que tu cherches les matrices possibles
lorsque u est un endomorphisme normal de E.
Et cela n'est pas écrit clairement dans ton(tes) message(s).
Fred.
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#7 21-05-2010 10:24:02
- Picatshou
- Membre
- Inscription : 01-11-2009
- Messages : 272
Re : algébre linéaire
biensûr mr Fred vous avez raison peut être que c'est à cause de mon écriture que vous n'avez pas compris l'énoncé en fait ,il fallait écrire que la première question est de mq u est normal ssi :(b-c)(b+c)=0 et (b-c)(a-d)=0
et la seconde est d'en déduire que si b=c alors u est symétrique
et s'ils sont différents que u n'admet pas des valeurs propres réelles et qu'il existe j>0 tq la matrice A déjà montionné en haut
(j'espère que c'est plus clair maintenant )merci pour votre attention !
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#8 21-05-2010 10:29:07
- essai
- Invité
Re : algébre linéaire
Une toute petite question gens de ce forum :
arrivez-vous à lire mes réponses ou non ? Parce que ça fait deux que je donne à Picatshou et jamais je n'ai de retour...
Dites-moi juste que je réponde pas pour rien ;)
#9 21-05-2010 11:05:47
- Picatshou
- Membre
- Inscription : 01-11-2009
- Messages : 272
Re : algébre linéaire
salut essai , je suis désolé je n'ai pas vu ta réponse ,merci chèrement,au contraire ça me fait plaisir d'avoir des réponses de ta part ,merci pour l'aide mais je n'ai pas compris la chose suivante :"Pour conclure, tu divises par le déterminant de A (j=\a²+b²) et tu obtient une matrice avec deux coefficients dont la somme des carrés vaut 1 et donc tu as ton g ."
merci beaucoup de me l'éclaircir !
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#10 21-05-2010 11:50:21
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 401
Re : algébre linéaire
Salut essai,
Je vais faire une recherche, ce qui ne sera pas simple vu que tu réponds en tant qu'invité, membre à part entière aurait été plus simple...
En tous cas, oui, ton post dans cette discussion est visible (je l'ai quand même amélioré en ajoutant les balises tex et /tex)...
Si tu veux n'être qu'un Invité régulier, tu seras le bienvenu quand même : toutes les bonnes volontés sont appréciées à leur juste valeur...
En ce qui concerne le langage LaTeX deux voies s'ouvrent à toi :
1. Tu as Java installé sur ta machine et tu ne veux pas te casser la tête : Fred a mis au point une interface entre LaTeX et toi, semblable aux Editeurs d'équations classiques : clique sur le bouton Insérer une équation (une petite aide 70 ko en .pdf est prévue au cas où)
2. Tu préfères user de LaTex "à la main", auquel cas tu n'as besoin d'aucun prérequis et cette page Code LaTeX, (à côté du bouton précédent) est faite pour toi. Tu y verras que le forum a besoin de savoir que ce que tu écris est du LaTex : donc encadrer toute formule entre les balises tex et /tex (avec crochets bien sûr).
Au passage, pour tout le monde j'ai enfin découvert comment afficher des accolades en LaTeX --> \{ et \}
@+
En ligne
#11 21-05-2010 12:28:16
- essai
- Invité
Re : algébre linéaire
Merci pour vos réponses !
Tu as raison Picatshou je suis peut-être allé un peu vite à la fin... :
En fait tu as : A = j*(A/j) (dsl Yoshi, je tape pas latex juste par flemme ici mais quand ce sera important je le ferai !)
et tu prends j=det(A)=a²+b².
Pourquoi me diras-tu ? Comme ça ta matrice A/j est de la forme [tex]\begin{pmatrix}e & f \\ -f & e \end{pmatrix}[/tex] et comme det(A/j)=1 tu as e²+f² =1
On a e et f des réels donc on a |e|<=1 et |f|<=1 (puisque leurs carrés sont <=1) donc on peut prendre g tel que cos(g)=e.
A ce moment-là tu as f²=1-cos²(g) =sin²(g). Donc f est égal à plus ou moins sin(g). (pour avoir le bon signe de ton exo il suffit de garder g ou de prendre g'=-g)
J'espère que là c'était assez clair !
Bon après-midi
#13 21-05-2010 13:02:20
- essai
- Invité
Re : algébre linéaire
Non, e=a/j et f=b/j .
Désolé si je manque de clareté, promis j'ai fait du mieux que j'ai pu...
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