Une aide sur un estimateur svp!

noumair · 14-05-2010 10:45:15

Bonjour,

Je souhaiterais une aide sur un estimateur : d'après mon exercice, X suit une loi géométrique et S(t) =P(X>t).
On me demande d'estimer S(k)=P(X>k)=(1-p)exp(k), en bref trouver un estimateur de S(k) pour tout k !

j'ai pour habitude d'estimer des parametre et non des fonction du type S(k) et je tourne en rond car je sais pas si il faut oui ou non utiliser la methode du maximun de vraisemblance !

Une piste de d'aide serait vraiment le bienvenu!
Je vous en remercie d'avance .

freddy · 14-05-2010 11:54:38

Houla !

Es tu sûr de l'expression de ta loi géométrique ? Je crains que tu mélanges un peu avec la loi exponentielle (pour une va continue)

Vas jeter un oeil sur ce lien, et quand tu auras fait le net dans ton esprit, je pense que tu verras mieux ce qu'on te demande.

Sinon, reviens nous voir, je te donnerai une autre piste.

A plus

Noumair · 14-05-2010 16:04:47

Merci de ton aide ,enfaite j'aurai du ecrire pour eviter la confusion que tu as faite avec la loi exponentiel écrire :
S(k)=(1-p)^k ,car tu sais qu'une loi géométrique s'écrit P(X=k)=p(1-p)^k-1 d'ou S(k)=P(X>k)=(1-p)^k ,voila je pense que c'est plus claire maintenant ,et mon problème enfaite est d'estimer S(k) ! ce qui me perturbe car ce n'est pas un paramètre !enfin voila j'espère avoir une piste car la je tourne en rond !

freddy · 15-05-2010 21:06:36

Re,

me voilà rassuré, mais une petite remarque si tu veux bien : [tex] (1-p)e^k \neq (1-p)^k[/tex], tu es d'accord ?

L'idée que je te suggère est de regarder l'estimation de cette probabilité [tex]p_k=(1-p)^k[/tex] par la fréquence empirique [tex]f_k[/tex] de la distribution observée.

Qu'en penses tu ?

Noumair · 16-05-2010 17:32:13

Salut merci pour l'aide donc si j'utilise la fréquence j'obtiens donc pour S(k)=
[tex]\sum_{k=1}^n \frac{K}{N}[/tex]
c'est un estimateur effectivement sans biais et convergent ! est tu d'accord ?

Noumair · 16-05-2010 17:42:22

Ou bien enfin mieux écrit l'expression suivant :

[tex]{S}_{k}=\sum^{n}_{i=1}\frac{{K}_{i}}{n}[/tex]

freddy · 17-05-2010 17:05:01

Salut !

attention, je te propose d'utiliser la fréquence empririque comme estimateur, MAIS encore faut il que tu l'exprimes correctement dans le cadre du problème qui t'est posé.

ON te demande d'estimer[tex] S(k)=Prob(X > k) = 1-Prob(X \leq k)[/tex].

Vois tu l'astuce en termes de fréquences cumulées croissantes ?

(...)

Noumair · 20-05-2010 14:21:11

salut, j'ai du mal a voir l'astuce avec les fréquences cumulés mais si j'ai compris on compter le nombre d'estimation superieur k et on tomberais donc sur une expression du genre :

[tex]\frac{\left\{i\leq n\,;\,{X}_{i}>\,k\right.}{n}[/tex]

et ce que je m'égare ???

Noumair · 20-05-2010 14:25:32

enfin une expression de S(k) du genre :

[tex]\frac{card\left\{\,i\leq \,n\,;\,{X}_{i}>n\,\right.}{n}[/tex]

freddy · 20-05-2010 16:49:06

Re,

non, tu calcules la fréquence cumulée croissante [tex]F_k \;\text{et ton estimateur est}\; 1-F_k[/tex] !

tu vois ?

Noumair · 20-05-2010 18:23:44

humm,enfin je vois donc enfaite cela revient à posé [tex]{S}_{k}=\,1-{F}_{k}=1-\sum^{n}_{i=1}\,\frac{{K}_{i}}{n}[/tex]

J'espère que c'est ca sinon je pète un cable !mdrrr

freddy · 20-05-2010 18:25:23

Ok

Noumair · 20-05-2010 18:38:29

serieux c 'est juste ? lol

Noumair · 20-05-2010 21:30:02

si je reprend l'expression j'obtiens pour l'espérance et la variance les expressions suivantes :

[tex]E\left({S}_{k}\right)=E\left(1\,-\,{F}_{k}\right)=\,1\,-\,E\left(\sum^{n}_{i=1}\frac{{K}_{i}}{n}\right)=1\,-\,E\left(K\right)=\,1-\,\frac{1}{p}[/tex]

[tex]V\left({S}_{k}\right)=V\left(1\,-\,{F}_{k}\right)=\,\frac{V\left(K\right)}{n}=\,\frac{1-p}{n{p}^{2}}[/tex]

est tu d'accord ? pour la variance on montre ainsi que l'estimateur est convergent !

freddy · 20-05-2010 23:07:50

Re,

je ne comprends pas : il ne t'est pas demandé d'estimer p que je sache, mais Prob(K > k) qui est l'expression d'une loi de survie. La loi géométrique peut être assimilée à un processus de vie et de mort en temps discret. Exemple : la durée de vie d'une lampe basse tension.

Si p est la prob que la lampe soit HS après une heure d'utilisation, on veut estimer la proba. qu'une lampe ait une durée de vie supérieure à k heures par exemple.

Pour ce faire, on dispose d'un échantillon de n lampes homogènes, et on a observé leur durée de vie.

On fabrique alors la distribution empirique : nombre de lampe se sont éteintes après une heure de fonctionnement, après 2 heures, ... après k heures, ... après q heures de fonctionnement.

Donc, pour chaque k, on a [tex]n_k[/tex] et on fabrique [tex]f_k=\frac{n_k}{n}[/tex]

A partir de là, on fabrique l'estimateur demandé pour déterminer la prob qu'une lampe dure plus de k = 600 heures d'utilisation par exemple.

Donc tu dois formuler correctement ton estimateur et vérifier que celui proposé te permet de bien retrouver [tex]S_k=(1-p)^k = 1-\sum_{i=1}^k f_k = 1-F(k)[/tex].

tu vois ?

Dernière modification par freddy (21-05-2010 06:49:00)

Noumair · 21-05-2010 11:59:37

Salut, tes explications m'ont permit de mieux voir les choses cependant j'ai du mal a trouver un estimateur !enfin bon je pense en avoir trouver un ,dis moi ce que tu en pense si cela ne te dérange pas !

[tex]{S}_{n}\left(K\right)=1\,-\,\sum^{k}_{n=1}\frac{\left(1-{p}_{n}\right)}{n}[/tex]

soit [tex]E\left({S}_{n}\left(k\right)\right)=1\,-\,E\left(\sum^{k}_{n=1}\frac{\left(1-{p}_{n}\right)}{n}\right)=1\,-\,E\left(\left(1-p\right)\right)=1\,-\,\left(1-p\right)\sum^{k}_{n=1}p{\left(1-p\right)}^{n-1}=1\,-\,\sum^{k}_{n=0}p{\left(1-p\right)}^{n}[/tex]

[tex]E\left({S}_{n}\left(k)\right)\right)=1\,-\,p\sum^{k}_{n=1}\,{{\left(1-p\right)}_{}}^{n}=1\,-\,p.\frac{1\,-\,{\left(1-p)\right)}^{k}}{1-\left(1-p)\right)}=1\,-\,p.\frac{1\,-\,{\left(1-p)\right)}^{k}}{p}=1-\,1\,+\,{\left(1\,-\,p\right)}^{k}=\,{\left(1\,-\,p)\right)}^{k}[/tex]

j'attend tres vites tes commentaires en tout cas je te remercie de m'aider !

freddy · 21-05-2010 14:25:55

Re,

je te rappelle que tu ne connais pas le paramètre p et d'ailleurs, là n'est pas le problème puisque tu va estimer qque chose de + "fort".

Si tu lis bien l'exemple que je t'ai donné, tu as compris que le nombre de lampe de l'échantillon ayant tenu k heures avant de ne plus fonctionner [tex]n_k[/tex] est une variable aléatoire.

Ton estimateur est [tex]S_k=1-\sum_{i=1}^k \frac{n_i}{n}[/tex].

C'est à partir de cela que tu dois vérifier que c'est un bon estimateur de [tex](1-p)^k[/tex], comme demandé.

Allez, au travail !

A plus !

Noumair · 21-05-2010 19:59:44

je suis d'accord pour l'estimateur ok c'est [tex]S\left(k\right)=1\,-\,\sum^{n}_{k=1}\frac{{n}_{k}}{n}[/tex]
bien entendu [tex]{n}_{k}[/tex] est une variable aléatoire ! mais ou je pige pas et j'arrive pas a le demontrer c'est que si c'est la bonne expression de l'estimateur on devrais tomber sur ca :

[tex]S\left(k\right)\,\,\,-\,\,E\left({S}_{n}\left(k\right)\right)=0[/tex]

pour avoir un biais egale à o or c'est tout le problème mais je vais chercher j'espére pas dans le vide !
encore merci !

freddy · 22-05-2010 09:38:21

Salut !

attention : si tu as un biais, tu corriges l'estimateur et du coup, il devient sans biais. ...

Le "truc" et de bien vérifier qu'il est aussi convergent, ou asymptotiquement convergent.

Bon courage ... je vais faire de l'escalade !

Bismark

Dernière modification par freddy (22-05-2010 09:38:46)

Noumair · 22-05-2010 17:05:38

Salut,j'espère que l'escalade a était bonne il y en qui ont de la chance !mdr,
je pense qu'il faut réécrire l'estimateur autrement ,enfin si je ne me trompe pas !

[tex]{S}_{n}\left(k\right)=\,1\,\,-\,\,\frac{1}{n}\sum^{k}_{i=1}I{{N}_{i}\leq k}[/tex]

car comme ca on peux écrire l'expression de l'espérance de cette manière là :

[tex]E\left({S}_{n}\left(k\right)\right)=1\,-\,\,E\left(\frac{1}{n}\sum^{k}_{i=1}I{{N}_{i}\leq k}\right)=1\,-\,E\left(P\left(N\leq k\right)\right)=1-F\left(k\right)=1-\left(1-\left(1-p{)}^{k}\right)\right)={\left(1-p\right)}^{k}[/tex]

et pour la variance :

[tex]V\left({S}_{n}\left(k\right)\right)=\frac{V\left({F}_{n}\left(k\right)\right)}{n}=\frac{F\left(k\right)\left(1-F\left(k\right)\right)}{n}[/tex]

j'espère que c'est ok!

freddy · 23-05-2010 20:04:23

Salut,

je pense que tu as très bien compris ce qu'il fallait faire, je pense par contre que tu dois revoir avec soin tes notations (on ne calcule pas l'espérance d'une proba, mais plutôt celle d'une variable aléatoire.

Fais encore un effort, tu tiens le bon bout (en escalade, on dirait que tu es tout proche de la sortie de la voie, juste encore "un pas" !)

Bis bald

Noumair · 24-05-2010 21:47:04

saut, ah ok je vois pour la notation je vais écrire autrement j'espère que sa sera bouclé !lol

[tex]{S}_{n}\left(k\right)=1\,-\,{F}_{n}\left(k\right)[/tex]

[tex]E\left({S}_{n}\left(k\right)\right)=1\,-\,E\left(\sum^{n}_{i=1}I\left[\frac{{N}_{i}\leq k}{n}\right]\right)=1\,-\,\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}E\left(I\left({N}_{i}\leq k\right)\right)=1\,-\,P\left(N\leq k\right)=1\,-\,F\left(k\right)[/tex]

[tex]E\left({S}_{n}\left(k\right)\right)=1\,-\,F\left(k\right)=1\,-\,\left(1-{\left(1p\right)}^{k}\right)={\left(1-p\right)}^{k}[/tex]

si cela est correct pourrais je encore solliciter ton aide pour une autre question ?

freddy · 25-05-2010 13:40:53

Salut !

je fais qques modifs mais c'est bon :

[tex]{S}_{n}\left(k\right)=1\,-\,{F}_{n}\left(k\right)[/tex]

[tex]E\left({S}_{n}\left(k\right)\right)=1\,-\,\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}E\left(I_{\left({N}_{i}\leq k\right)\right)}=1\,-\,P\left(N\leq k\right)=1\,-\,F\left(k\right)[/tex]

[tex]E\left({S}_{n}\left(k\right)\right)=1\,-\,F\left(k\right)=1\,-\,\left(1-{\left(1-p\right)}^{k}\right)={\left(1-p\right)}^{k}[/tex].

C'est OK, itou pour la variance de l'estimateur. Bravo !

Si tu as une autre question, c'est mieux que tu la poses en ouvrant un nouveau sujet.

Bb

Noumair · 27-05-2010 10:40:16

Merci pour ta vérification et de ton aide ,enfaite ma seconde question est en relation avec ma première question ,
enfaite on me demande de deduire une seconde methode d'estimation de [tex]S\left(k\right)=P\left(X\geq K\right)[/tex] , on me dis [tex]{N}_{k}=\sum^{n}_{i=1}I{\,{X}_{i}\geq k}[/tex] et de deduire la loi de la variable aléatoire de [tex]{N}_{k}[/tex] pour moi la loi a l'évidence est une loi binomial ! et de la on me demande de trouver un second estimateur de S(k) ! faut il que je parte de la loi binomial en utilisant S(k)=P( X>k) pour trouver ce second estimateur ?
Cordialement .

freddy · 27-05-2010 22:02:21

Salut,

oui, j'avais eu aussi l'idée et c'est bien que tu poses la question. En clair, formalise bien l'expérience à partir de ton échantillon aléatoire : tu as n variables aléatoires identiquement et indépendamment distribuées [tex]\left({X}_{i},i\in \left[1,n\right]\right)[/tex] et tu construis la va [tex]{N}_{k}=\sum^{n}_{i=n}{I}_{\{X_i > k\}}[/tex] = nombre de va dont la durée de vie est supérieure à k.

Quelles sont les valeurs possibles de cette va, quelle est la proba élémentaire et regarde du côté de l'estimation du paramètre d'une loi binomiale, tu auras le second estimateur recherché.

A plus !

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#1 14-05-2010 10:45:15

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