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#5 02-05-2010 11:16:43
Re : valeur propre
Salut,
Le cas particulier, c'est si tes deux matrices sont diagonales dans une même base. Je te laisse tester ça par toi-même car c'est plus facile à voir qu'à expliquer.
Dernière modification par thadrien (02-05-2010 11:16:46)
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#6 02-05-2010 13:22:46
- Picatshou
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Re : valeur propre
salut les amis,entre autres, je doute sur la chose suivante :on a A une matrice de Mn(C) tq L^(-1)AL sa matrice
semblable et p(A)=sup [tex]\left|Ti\right|[/tex] tq Ti est une valeur propre associée à A
alors je veux montrer que (et après la démonstration que p(L^(-1)AL)=p(A)) p(A^k)=p(A)^k
donc est ce que je peut faire lachose suivante :
p(L^ (-1)AL)p(L^-1)AL)...........p(L^(-1)AL) (k fois )= p(A)p(A).....p(A)(k fois)
d'où p(L^(-1)AL..........L^(-1)AL) qui est égale à p(A^k) devient égale à p(A)^k d'après la deuxième égalité ??
d'où le résultat
dans quelle mesure ma réponse est juste?
merci d'avance de me répondre !
A bientôt!
Dernière modification par Picatshou (02-05-2010 13:42:10)
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#11 03-05-2010 11:32:39
Re : valeur propre
Salut,
A est trigonalisable dans C : A = LTL ^-1 avec L une matrice de passage et T une matrice triangulaire supérieure.
A et T ont les mêmes valeurs propres donc p(A) = p(T).
A^k = L(T^k)L^-1.
Donc A^k et T^k ont les mêmes valeurs propres.
Donc p(A^k) = p(T^k).
Montrons que p(T^k) = p(T)^k.
Soient alpha_i les coefficients diagonaux de T et beta_i ceux de T^k.
Alors pour tout i, beta_i = alpha_i^k.
Comme les alpha_i sont les valeurs propres de T et les beta_i ceux de T^k :
p(T^k) = p(T)^k.
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