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#1 01-05-2010 19:48:12
- D'giu
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Rang et déterminant d'une matrice
Bonjour,
j'ai quelques difficultés pour déterminer le rang et le déterminant de cette matrice:
Soit [tex]l\in \mathcal{R}[/tex], M élément de [tex]{M}_{n}\left(R\right)[/tex] de terme général:
[tex]\left({l}^{|\,i\,-\,j\,|}\right)[/tex]
J'ai déjà écrit la matrice:
http://i263.photobucket.com/albums/ii15 … 1272739509
Je me suis arrangé pour n'avoir que des 0 sur la 1ère colonne.
J'ai développé et avec la nouvelle matrice obtenue j'ai pu factoriser par (1-l²) la 1ère ligne et la 1ère colonne.
Mais ensuite je suis bloqué.
Si quelqu'un peut m'aider. Merci d'avance.
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#2 07-05-2010 14:22:38
- Valentin
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- Messages : 143
Re : Rang et déterminant d'une matrice
Bonjour,
tu peux déterminer la frel(M) (forme réduite en ligne de Gauss de Jordan) et le nombre de pivot de la frel(M) détermine le rang de ta matrice. Ta matrice semble être triangulaire supérieure, vu que tu n'as que du 1 en diagonal! donc serait la taille de ta matrice n.
Valentin
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#3 07-05-2010 16:39:17
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : Rang et déterminant d'une matrice
Salut,
je ne comprends pas bien.
Si [tex]l \ne 0\;et\;1\;et\;-1[/tex] alors le rang de cette matrice carrée symétrique très particulière = sa taille = n, car son déterminant est non nul.
Le déterminant est de la forme [tex]\left(1-l^2\right)^{n-1}[/tex], sauf erreur.
Si [tex]l = 0[/tex], il s'agit de la matrice nulle, et si [tex]|l|=1[/tex], son déterminant est nul.
Me serais je trompé ?
Dernière modification par freddy (07-05-2010 16:56:22)
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#5 08-05-2010 00:11:44
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : Rang et déterminant d'une matrice
Salut Fred,
très simple et très vite : sur Excel, avec la fonction Déterminant, une intuition, une conjecture, des vérifications (matrices carrées de taille 2, 3, 4, jusqu'à 8) ...
D'où la mention "sauf erreur" quand j'utilise ce genre de procédé intuitif et peu académique, et que je n'ai pas trop le temps de faire le calcul exact ...
Je viens de rentrer, je vais me livrer à la vérification formelle.
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#6 08-05-2010 00:26:59
- freddy
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Re : Rang et déterminant d'une matrice
Re,
on a :
[tex]det M_n = \begin{vmatrix}1 & l & 1^2 & l^3 & ... & l^{n-1} \\ l & 1 & l & l^2 & ... & l^{n-2} \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ l^{n-1} & l^{n-2} & l^{n-3} & ... & l & 1 \end{vmatrix}[/tex]
je forme C1 <- C1-C2, soit :
[tex]det M_n = \begin{vmatrix}1-l & l & 1^2 & l^3 & ... & l^{n-1} \\ l-1 & 1 & l & l^2 & ... & l^{n-2} \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ l^{n-1}-l^{n-2} & l^{n-2} & l^{n-3} & ... & l & 1 \end{vmatrix}[/tex]
Je factorise ensuite la première colonne par [tex](1-l)[/tex]. Puis je forme C1 <- C1+C2. Le terme M(1,1) est égal à [tex](1+l)[/tex], les autres de la forme M(j>1,1) sont nuls, soit :
[tex]det M_n = (1-l)\times \begin{vmatrix}1+l & l & 1^2 & l^3 & ... & l^{n-1} \\ 0 & 1 & l & l^2 & ... & l^{n-2} \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & l^{n-2} & l^{n-3} & ... & l & 1 \end{vmatrix}[/tex]
Donc je développe le déterminant de la matrice carrée M de dimension n-1 pondérée par le terme [tex](1-l)(1+l)=(1-l^2)[/tex], soit :
[tex]det M_n = (1-l)\times (1+l)\times det M_{n-1} = \left(1-l^2\right)^2\times detM_{n-2}[/tex]
De proche en proche, j'obtiens le résultat pronostiqué et affiché ci dessus, savoir :
[tex]det M_n=\left(1-l^2\right)^{p}\times det M_{n-p}=\left(1-l^2\right)^{n-2}\times det M_{2}=\left(1-l^2\right)^{n-1}[/tex]
Bb
Dernière modification par freddy (10-05-2010 18:26:00)
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#7 08-05-2010 08:33:57
- freddy
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Re : Rang et déterminant d'une matrice
Re,
l'image de la matrice de la page #1 contient un élément faux : le terme M(3,1) qui doit être égal à [tex]l^2[/tex].
Dernière modification par freddy (08-05-2010 08:35:10)
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#8 18-05-2010 10:14:16
- franklino
- Membre
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- Messages : 86
Re : Rang et déterminant d'une matrice
Bonjour
c'est en rapport avec l'exercice
Je voudrais que vous m’aidez à retrouver la relation qui existe entre les déterminants D2 et D3 ; D3 et D4 ; D4 et D5 ; D5 et D6 pour que je puisse par la suite par induction trouver la relation entre Dn et Dn-1.
Pour n=2, D2= 1 – l^2
Pour n=3, D3= l^4 – 2l^2 + 1
Pour n=4, D4= l^8 – 2l^4 + 1
Pour n=5, D5= 2l^8 – 2l^6 – l^4 + 1
Pour n=6, D6= l^8 – 2l^4 + 1
Merci.
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