problème d'analyse!

Valentin · 20-04-2010 13:54:26

freddy a écrit :

Salut valentin,
tu viens de vérifier ce que je pense depuis le début : tu as un ensemble de sujet de math dont certains n'ont pas de sens. En particulier, ce fichu polynôme ...
Pour ta seconde question, il faut simplement que tu vérifies que si on a deux nombres x et y tq la somme (x+y) est un nombre rationnel, alors x et y sont aussi deux rationnels indépendamment l'un de l'autre.
Une fois que tu auras prouvé ce point, la suite viendra toute seule.
"Patience dans l'azur ... " disait Hubert Reeves.

je n'ai rien capté! qui est x et y ? ça veut dire, je pose : x=cos(a) et y =sin(a) et x+y=cos(a)+sin(a). Or, d'après l'énoncé, cos(a)+sin(a) appartient à Q, càd cos(a) et sin(a) appartient à Q donc x, y appartient à Q avec évidemment x différent de y! c'est ça non?

freddy · 20-04-2010 15:43:30

rebonjour Valentin,

oui, c'est ça, la question est : si [tex]\cos a + \sin a \in \Q[/tex], avons nous [tex]\cos a \in \Q\;et\;\sin a \in \Q\,?[/tex].

Si tu démontres ce résultat, alors, puisque Q muni de l'addition et de la multiplication a une structure de corps,

on a : [tex]\cos^na \in \Q,\;\sin^na \in \Q,\;et\;\cos^na+\sin^na \in \Q[/tex].

Valentin · 22-04-2010 13:31:55

Salut Freddy,
si j'ai bien compris, le raisonnement serait:
[tex]si\,\cos a+\sin a\in Q\Rightarrow \cos a\in Q\,et\,\sin a\in Q\,addition\,\in Q,\,car\,Q\,est\,un\,corps\,\Rightarrow {\left(\cos a\right)}^{n}\in Q\,et\,{\left(\sin a\right)}^{n}\in Q\,[/tex]
ce qui achève la démonstration!
valentin

freddy · 22-04-2010 17:05:31

Salut Valentin,

ouuuuuui ! on y est presque, mais on ne dit pas que l'addition appartient à Q !!!

Il faut que tu montres que :

si : [tex]\cos a+\sin a \in\Q[/tex]

alors : [tex]\cos a \in \Q[/tex] et [tex]\sin a \in \Q[/tex]

Si tu prouves ce résultat, alors la démonstration est achevée.

Je pense que c'est tout à fait à ta portée.

Bon courage.

Dernière modification par freddy (24-04-2010 07:13:15)

Valentin · 27-04-2010 12:10:57

Je pose r=cosa+sina avec r appartient à Q par hypothèse.
[tex]CO{S}^{2}\left(a\right)=1-{\sin }^{2}\left(a\right)=1-{\left(r-\cos a\right)}^{2}\Rightarrow 2{\cos }^{2}\left(a\right)-2r\cos a+1-{r}^{2}=0\,puis\,je\,résous\,cette\,équation\,en\,\cos \,et\,je\,trouve\,si\,delta\,positif\,les\,racines\,sont\frac{}{}[/tex]

Dernière modification par Valentin (27-04-2010 12:12:14)

Valentin · 27-04-2010 12:17:04

pb de logiciel!
[tex]si\,delta\,est\,>0\Rightarrow \frac{r+/-\sqrt{2-{r}^{2}}}{2}\in Q\,\Rightarrow COS\in Q\,et\,\sin a\in Q\,d'où\,le\,resultat![/tex] T'es d'accord avec ce raisonnement Freddy?
valentin

[EDIT @Yosi]
Valentin, pour tes textes en Latex, une commande :
\text{bla bla écriture}
[tex]\text{bla bla écriture}[/tex]

Pour les ensembles de nombres :\N \Z \Q \R \C
[tex]\N\; \Z\; \Q\; \R\; \C[/tex]

freddy · 27-04-2010 14:06:46

Hello,

je rewrite, corrige et commente :

Valentin a écrit :

Je pose r=cosa+sina avec r appartient à Q par hypothèse.
[tex]\cos^2\left(a\right)=1-{\sin }^{2}\left(a\right)=1-{\left(r-\cos a\right)}^{2}\Rightarrow 2{\cos }^{2}\left(a\right)-2r\cos\left(a\right) -1+{r}^{2}=0\; \text{Attention : tu as fait une erreur de signe que j'ai corrigée}[/tex]
Puis je résous cette équation en cos et si le Delta est positif, les racines sont rationnelles

Que nenni, c'est une horreur ton truc ! La racine carrée de 2 n'est pas rationnelle que je sache, et pourtant le delta de [tex]x^2-2=0\;\;\text{qui vaut 8}[/tex] est bien positif !!! ...

Allons, allons, reprends toi ...

La question est plus simple : la somme de deux nombres irrationnels (ou bien d'un irrationnel + un rationnel) peut elle être un nombre rationnel ?

Je te rappelle que (Q, +) est un groupe abélien.

A +

Valentin · 28-04-2010 13:50:22

à part poser: [tex]r=\cos a+\sin \,puis\,{\cos }^{2}a=1-{\sin }^{2}a\Rightarrow 2{\cos }^{2}a-2r\cos a+{r}^{2}-1=0[/tex] après je ne sais pas s'il faut résoudre cette équation en cos ou en r pour arriver à conclur à partir de racines. Or, si je calcule delta je trouve ça:
[tex]\Delta =4{r}^{2}-4\left(2\left({r}^{2}-1\right)\right)=4\left(2-{r}^{2}\right)[/tex]
les racines vont dépendre de signes de delta, donc de
[tex]2-{r}^{2}[/tex]
a)[tex]\Delta >0\Longleftrightarrow 2-{r}^{2}>0\Rightarrow \cos a=\frac{2r-2\sqrt{2-{r}^{2}}}{4}\,et\,\cos a=\frac{r+\sqrt{2-{r}^{2}}}{2}[/tex]

[tex]-\sqrt{2}<r<\sqrt{2}[/tex]
si r=-1 [tex]\Rightarrow \cos a=-1\,ou\,0[/tex]
je ne sais pas trop!!!

yoshi · 28-04-2010 13:57:38

Salut,

2e édition :

yoshi a écrit :

[EDIT @Yoshi]
Valentin,
pour tes textes en Latex, une commande :
\text{bla bla écriture}
[tex]\text{bla bla écriture}[/tex]
Pour les ensembles de nombres :\N \Z \Q \R \C
[tex]\N\; \Z\; \Q\; \R\; \C[/tex]

@+

Valentin · 28-04-2010 14:25:15

[tex]\mathbb{Q}[/tex]
Merci Yoshi!
Valentin

yoshi · 28-04-2010 15:45:17

* [tex]\mathbb{Q}[/tex]

Salut Valentin,

J'ai également remarqué que si par hasard, comme c'est le le cas dans ton post, il n'y a pas un seul caractère avant la formule LaTex, ça ne marche pas.
Maintenant, si ! (j'ai ajouté une *)

Ce que je t'ai signalé, c'est que \mathbb{Q} pouvait avantageusement être remplacé par \Q.
La preuve : [tex]\Q[/tex]

L'intérêt de \text{ texte } [tex]\text{ c'est qu'il garde les espaces et les caractères accentués.}[/tex]

@+

thadrien · 28-04-2010 17:13:54

Mais l'inconvénient du texte en Latex par rapport au texte en dehors, c'est qu'il est affiché comme une image.

J'ai réfléchi à la question. Tout ce que je suis arrivé à déduire, c'est que si [tex]cos(\alpha) + sin(\alpha) \in \Q[/tex] alors [tex]cos(\alpha) \in \Q \, ET \, sin(\alpha) \in \Q[/tex] OU [tex]cos(\alpha) \notin \Q \, ET \, sin(\alpha) \notin \Q[/tex].

Je ne sais pas comment on exclut la seconde solution.

Dernière modification par thadrien (28-04-2010 17:21:31)

freddy · 28-04-2010 18:24:15

@thadrien,

j'ai un sérieux doute sur la seconde solution ...

Peux tu trouver un seul exemple de deux nombres irrationnels liés entre eux dont la somme est dans Q ?

thadrien · 28-04-2010 18:31:30

Salut,

J'ai pas dit qu'elle était possible. J'ai dit que je NE SAVAIS PAS FAIRE !!!!!!!!!

Et puis, comme exemple, j'ai [1-racine(2)] et [1+racine(2)]. Leur somme est bien dans Q, et pourtant, ils n'y sont pas.

freddy · 28-04-2010 18:53:09

Hello,

OK pour l'exemple mais [tex]1+\sqrt2 > \cos x,\;\forall x \in \R[/tex] donc pas dans le champ du pb de Valentin.

La démonstration est la suivante, sauf erreur :

supposons qu'on trouve un angle [tex]\theta[/tex] tq [tex]\cos\theta + \sin\theta \in \Q[/tex],

alors il existe [tex](p, q) \in \Z\times \Z^*[/tex] tq [tex]\cos\theta + \sin\theta=\frac{p}{q}[/tex]

On a alors [tex]\frac{p^2}{q^2}=1+2\sin\theta\cos\theta \ssi \sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}\frac{(p-q)}{q}\times \frac{(p+q)}{q} \in \Q[/tex] ce qui nous assure que [tex]\cos\theta \in \Q\;et\;\sin\theta \in \Q[/tex].

Donc on est sûr que [tex]\cos^n\theta + \sin^n\theta \in \Q[/tex]

Bb

Dernière modification par freddy (29-04-2010 06:50:25)

thadrien · 28-04-2010 19:08:17

Salut,

[tex]\sin(\theta) \cos(\theta) \in \Q[/tex] et [tex]\sin(\theta) + \cos(\theta) \in \Q[/tex] n'assurent pas que [tex]\cos(\theta) \in \Q[/tex] et [tex]\cos(\theta) \in \Q[/tex].

Contre-exemple : [tex]\frac{1+\sqrt{2}}{2}[/tex] et [tex]\frac{1-\sqrt(2)}{2}[/tex] : leur somme ET leur produit sont dans Q.

Bis bald.

thadrien · 28-04-2010 19:11:56

Salut,

Contre-exemple : [tex]\theta = - \frac{\pi}{4}[/tex]. [tex]cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] et [tex]sin(\theta) = - \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. La somme des deux est dans [tex]\Q[/tex], mais pas chacun d'eux pris séparément.

Bis bald.

Dernière modification par thadrien (28-04-2010 19:30:47)

freddy · 28-04-2010 22:48:23

Arg ! Je me battrais ...

Trop concentré et pas assez réfléchi, me doutais bien qu'il y avait une nouille dans le potage.

OK et merci pour ces précieux rappels. Du coup, encore une question dans le sujet de Valentin qui est fausse.

Merci bcp thadrien !

Tschüss !

freddy · 29-04-2010 06:42:54

thadrien a écrit :

Salut,
[tex]\sin(\theta) \cos(\theta) \in \Q[/tex] et [tex]\sin(\theta) + \cos(\theta) \in \Q[/tex] n'assurent pas que [tex]\cos(\theta) \in \Q[/tex] et [tex]\cos(\theta) \in \Q[/tex].
Contre-exemple : [tex]\frac{1+\sqrt{2}}{2}[/tex] et [tex]\frac{1-\sqrt(2)}{2}[/tex] : leur somme ET leur produit sont dans Q.
Bis bald.

Salut,

@thadrien : je crois que tu n'as pas le droit de me fournir un contre exemple qui ne démontre pas que j'ai fait une erreur. En effet, j'ai dit que si on pouvait trouver un tel angle, alors il existait p et q(>0) entier relatif.

Or tu prends q=1 et p=racine(2) qui n'est pas dans Z, me semble t-il ?!!!

Idem pour le second exemple !

Qu'en penses tu ?

Freddy

PS : cela étant, je regarde encore, car j'ai toujours un doute ... Si qqu'un peut apporter son grain de sel ? Fred ? Yoshi ?

Dernière modification par freddy (29-04-2010 06:46:55)

thadrien · 29-04-2010 06:59:50

Salut,

Désolé de n'avoir pas assez détaillé mon propos.

Ce que je disais, c'est que cos(theta) + sin(theta) appartient à Q et cos(theta) sin(theta) appartient à Q n'implique pas que cos(theta) et sin(theta) appartiennent à Q.

C'est la dernière étape qui est fausse. Les autres sont justes.

Bis bald.

Par contre, je ne suis PAS arrivé à trouver un contre exemple pour la proposition de l'exercice. J'y réfléchis encore... grrrrr !!!!!! celui qui l'a composé mérité vraiment le bûcher !

Valentin · 30-04-2010 10:24:20

Salut Freddy,
Puisque tu es arrivé à [tex]\cos \theta \sin \theta =\frac{p-q}{2q}\times\frac{p+q}{q}\,\forall q\in {\mathbb{Z}}^*[/tex]
Est-ce que cela peut revenir à dire que [tex]\cos \theta =\frac{p-q}{2q}\,et\,\sin \theta =\frac{p+q}{q}[/tex] ou inversement ?
Et dans cette condition, comme [tex]\left(p,q\right)\in \mathbb{Z}\*{\mathbb{Z}}^* \cos \theta =\frac{p-q}{2q}=\frac{1}{2}\left(\frac{p}{q}-1\right)\in \mathbb{Q}[/tex] et [tex]\sin \theta =\frac{p+q}{q}=1+\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}[/tex] ce qui achève la démonstration!
Valentin

thadrien · 30-04-2010 17:26:09

Valentin a écrit :

Est-ce que cela peut revenir à dire que [tex]\cos \theta =\frac{p-q}{2q}\,et\,\sin \theta =\frac{p+q}{q}[/tex] ou inversement ?

Non. Voir mon contre-exemple.

freddy · 30-04-2010 23:44:58

Re,

désolé Valentin, mais thadrien a raison : on peut avoir une somme de termes dans Q sans que chaque terme soit dans Q.

Donc, peut on écrire : [tex]\cos\theta+\sin\theta \in \Q \Rightarrow \cos^n\theta+\sin^n\theta \in \Q\;[/tex] ?

Je ne sais pas, faut encore chercher soit le contre exemple, soit la preuve irréfutable. Je m'étais mis un schéma en tête que je n'ai pas pris vraiment le temps de vérifier. j'essaie de trouver une autre piste ...

Salut !

Dernière modification par freddy (30-04-2010 23:58:23)

thadrien · 01-05-2010 10:30:26

Salut,

Ça y est, j'ai enfin réussi à démontrer cette ******* !

Posons [tex]a = \cos(\theta)[/tex] et [tex]b = \sin(\theta)[/tex].

On va démontrer par récurrence forte que si [tex]a + b \in \Q[/tex] alors [tex]\forall n, n \ge 1, \, a^n + b^n \in \Q[/tex].

* Pour n = 1, la propriété est vraie.

* Pour n = 2, [tex]a^2 + b^2 = 1[/tex]. Donc la propriété est vraie.

* On suppose la propriété vraie jusqu'au rang n, [tex]n \ge 2[/tex]. Montrons qu'elle est vraie au rang n+1.

Démonstration au rang n+1 :

[tex]a^{n+1} + b^{n+1}[/tex]
[tex]= (a^{n} + b^{n}) (a + b) - a^{n}b - ab^{n}[/tex]
[tex]= (a^{n} + b^{n}) (a + b) - ab(a^{n-1} + b^{n-1})[/tex].

De plus, [tex]ab = \frac{1}{2} [ (a + b)^2 - (a^2 + b^2) ][/tex].

D'après l'hypothèse de récurrence, et comme Q est un corps, [tex](a^{n+1} + b^{n+1}) \in \Q[/tex].

Par récurrence forte, la propriété est vraie pour tout n.

Bis bald...

Dernière modification par thadrien (03-05-2010 11:08:28)

freddy · 02-05-2010 22:50:22

Bien vu l'aveugle !!!

C'est Valentin qui va être content.

Par contre, je ne comprends pas bien le

... comme Q est associatif ...

Si tu pouvais expliciter ta pensée (pour l'ami Valentin, ça devrait le troubler, comme moi).

Bis bald

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#51 20-04-2010 13:54:26

Re : problème d'analyse!

#52 20-04-2010 15:43:30

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#53 22-04-2010 13:31:55

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