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#1 20-04-2010 20:51:47
- sphinx67
- Membre
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- Messages : 7
calcul d un produit
Bonjour à tous!
Je cherche à calculer le produit suivant :
produit pour k=1 à n de : (x-exp(i*k*pi)/n)*(x-exp(-i*k*pi)/n),
en m inspirant de : produit de pour k=0 à n-1 de : (x-exp(i*2*k*pi/n))= (x^n)-1, j essaie de trouver la réponse ..mais ça devient assez compliqué.
après Calculs, on devrait trouver (x^2*n)-1 * (x-1)/(x+1) mais je ne vois pas comment y arriver....confusion dans k=0 à n+1.. k=1 à n..etc..
Merci
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#2 20-04-2010 21:13:25
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : calcul d un produit
Salut,
si tu ne codes pas en Latex, on risque de confusionner encore plus grave ...
J'essaie :
[tex]\prod^{n}_{k=1}\left(x-{e}^{\frac{ik\pi }{n}}\right)\left(x-{e}^{-\frac{ik\pi }{n}}\right)[/tex]
Voilà, je cherche la suite ...
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#3 20-04-2010 21:41:39
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : calcul d un produit
Salut,
Voici une piste pour démarrer.
Tu commences par considérer à part le produit :
[tex]\prod_{k=1}^n \left(x-e^{\frac{-ik\pi}{n}}\right)[/tex]
et tu fais le changement d'indice [tex]l=2n-k[/tex]
Tu trouves
[tex]\prod_{l=n}^{2n-1}\left(x-e^{\frac{il\pi}{n}}\right)[/tex]
En regroupant avec le premier produit, on n'est plus très loin du résultat que tu as deviné....
Fred.
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#6 28-04-2010 15:38:37
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : calcul d un produit
Salut,
c'est pourtant assez simple à faire, regarde :
[tex]\prod^n_{k=1}\left(x-e^{\frac{ik\pi}{n}}\right)\prod^{2n-1}_{k=n}\left(x-e^{\frac{ik\pi}{n}}\right)[/tex]
Or le terme [tex]\prod^n_{k=1}\left(x-e^{\frac{ik\pi}{n}}\right)=\frac{1}{x-1}\times \prod^{n}_{k=0}\left(x-e^{\frac{ik\pi}{n}}\right)[/tex] puisque en partant de k=0, on ajoute le terme en [tex]x-1[/tex].
De plus, pour k=n, on a deux fois le terme [tex]x+1[/tex].
Donc, pour avoir l'écriture de k parcourant l'ensemble des entiers de 0 à 2n-1, il faut bien factoriser par le quotient [tex]\frac{x+1}{x-1}[/tex].
Ensuite, on remarque que [tex]x^{2n}-1 = \prod^{2n-1}_{k=0}\left(x-e^{\frac{ik\pi}{n}\right)[/tex].
D'où la réponse du texte :
[tex]\prod^n_{k=1}\left(x-e^{\frac{ik\pi}{n}}\right)\left(x-e^{-\frac{ik\pi}{n}}\right)=\frac{x+1}{x-1}\times \left(x^{2n}-1\right)[/tex] et on dit un grand merci à Fred pour l'astucieuse astuce.
Bb
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#7 28-04-2010 18:28:25
Re : calcul d un produit
Ensuite, on remarque que [tex]x^{2n}-1 = \prod^{2n-1}_{k=0}\left(x-e^{\frac{ik\pi}{n}\right)[/tex].
Pour démontrer ce point :
1) Les deux polynômes ont même degré 2n.
2) Ils ont 2n racines communes.
Donc, ils sont égaux à un facteur multiplicatif près.
3) Ils ont le même coefficient devant x^2n.
Donc, ils sont égaux.
Et encore merci à Fred pour l'astuce !
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#8 30-04-2010 21:59:19
- sphinx67
- Membre
- Inscription : 20-04-2010
- Messages : 7
Re : calcul d un produit
bonjour!
je vais lire vos cogitations d un peu plus près. En effet ça ne semble pas si compliqué, les polynômes pour moi c est du siècle dernier...donc besoin d un peu de rafrachissement.
Merci à tous et à thadrien pour cette précieuse info,
a+
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