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Léaje

Invité

Topologie

Bonjour,
Est ce que quelqu'un pourrais m'aider à comprendre cet exercice de topologie...?
Soit I=[0,1] et * la relation d'équivalence dans I qui associe 0 à 1
je cherche à prouver que « I muni de la relation * » est équivalent à l circonférence de rayon 1 (PARTIE 1), qui est elle même équivalente à R/Z (PARTIE 2).

D'après mon cours deux espaces sont équivalents s'il existe un homéomorphisme ente eux. Homéomorphisme= bijection, continue, d'inverse continue.

PARTIE 1
Je cherche donc un homéomorphisme entre I muni de * et S1
déjà j'ai un problème logique : s'il y a une application bijective entre ces deux familles c'est qu'elles contiennent le même nombre d'éléments, ici ils en contiennent une infinité tous les deux mais j'ai l'impression que S1 en contient plus d'éléments parce que la circonférence de S1 est de 2 pi alors que la « longueur » de I est 1
Je sais que ce  raisonnement est faux mais je ne comprends pas.

PARTIE 2
Cette partie a été faite au tableau par mon prof, mais je suis pas convaincue.
Il considère l'application surjective entre R et S1 qui a chaque t de R associe (cos 2pi t, sin 2pi t)
Il considère ensuite une application quotient entre R et R/Z, celle définie par la relation
xRy<=>x-y appartient à Z
Enfin il dit que comme ces deux applications sont quotientes l'application entre R/Z et S1 l'est aussi et que donc ces deux espaces sont homéomorphes (La je ne comprends plus rien!)

Est ce que quelqu'un peut tenter de m'expliquer un peu la chose? Merci beaucoup!

Léa

Invité

Re : Topologie

Je crois que j'ai trouvé pour la partie 1, est ce que quelqu'un peut me dire si c'est juste?
Je considère l'application entre S1 et [0, 2 pi[ qui a (x,y) associe tan-1(y/x)  c'est un homéomorfisme
ensuite je considère l'application entre [0, 2 pi[ et [0,1[ qui a tout x associe x/(2 pi) c'est aussi un homéomorphisme.
La composition de ces deux homéomophismes est un homéomorphisme (propriété du cours).
J'ai donc trouvé un homéomorphime entre S1 et [0,1[.
Par contre là ou je ne sais pas comment faire c'est que j'ai considéré pour simplifier [0,1[, mais en fait dans l'exercice on me donne [0,1] muni de *, cela est-il équivalent?

merci

Roro

Membre expert

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Re : Topologie

Bonjour Léa,

Pour la première partie (et pour la deuxième, en fait c'est presque deux fois la même chose), voici des pistes :
1) L'application [tex]f:t\in [0,1] \mapsto (cos(2\pi t), \sin(2\pi t))\in S^1[/tex] est surjective.
2) Si tu identifies les éléments qui ont la même image, tu obtiendras une application qui sera aussi injective (ici, les seuls éléments qui ont la même image sont 0 et 1).

Pour la seconde partie, c'est un peu pareil :
1) L'application [tex]f:t\in \mathbf R \mapsto (cos(2\pi t), \sin(2\pi t))\in S^1[/tex] est surjective.
2) Un peu comme pour la partie 1, on va identifier les éléments qui ont la même image. Comme [tex](\mathbf R,+)[/tex] et [tex](S^1,\times)[/tex] ont une structure de groupe, et que l'application f peut être vue comme une application linéaire entre ces groupes, on peut exprimer ça de la façon suivante : f est un morphisme de groupe et par conséquent le quotient [tex]\mathbf R/\text{Ker}f[/tex] est isomorphe à [tex]\text{Im}f[/tex]... Ici [tex]\text{Ker}f = \mathbf Z[/tex] et [tex]\text{Im}f = S^1[/tex].

Le "par conséquent" de la dernière phrase doit être une conséquence de ton cours !

Dernière remarque : dans ton dernier message, tu dis avoir trouvé un homéomorphisme entre [tex]S^1[/tex] et [tex][0,1[[/tex] ce qui n'est pas possible puisque [tex]S^1[/tex] est fermé alors que [tex][0,1[[/tex] ne l'est pas !

J'espère que ça peut t'aider un peu !

Roro.

Dernière modification par Roro (25-04-2010 18:33:01)

Léa

Invité

Re : Topologie

Bonjour, merci de ta réponse :-D

Je pense avoir bien compris pour la partie 1,

pour la partie 2 je bloque un peu, l'identification des éléments qui ont la même image me parait logiquement être les classes d'équivalences de la relation xRy<=>x-y entier, donc les classes de R/Z. Je bloque sur ton explication, est-ce que tu penses que je peut dire qu'on identifie les éléments qui ont la même image et qu'il s'agit des classes de R/Z?
Je suis peut être à côté de la plaque mais : est-ce qu'on peut utiliser l'axiome du choix?
ou encore est-ce que je pourrais dire que R/Z est homeomorphe à "I avec la relation *" grâce à la relation qui à x associe {x} la partie décimale de x s'il est positif et (1-{x}) s'il est négatif

merci beaucoup!

Roro

Membre expert

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Re : Topologie

Bonsoir,

Tu peux jeter un oeil sur ce lien que je viens de trouver sur le net :

http://www.latp.univ-mrs.fr/~mohsen/topo006.pdf

C'est peut être un peu compliqué mais tu dois pouvoir y trouver des choses intéressantes...

Roro.