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mathieu64

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endomorphismes ortogonaux directe

Bonjour,
je n'arrive pas à comprendre une démonstration:
Soit P un plan vectoriel euclidien orienté et u appartient à SO(P)
La matrice de u et par suite, la classe de O modulo 2piZ sont indépendantes de la base orthonormale directe

Preuve ou ( , ) designe le produit scalaire:
Soient B=(e1,e2) et B'=(e1',e2') des bases orthonormales directes. Il existe v dans SO(P) transformant B en B'. On a alors pour tous i et j dans {1,2}:

( u(ej'),ei')=(u(v(ej)),v(ei))=(v(u(ej)),v(ei))=(u(ej),ei) d'ou l'invariance de u dans toute base orthonormale directe.  Je comprends le calcul mais je vois pas en quoi ça nous permet de déduire le résultat.

Merci d'avance.

thadrien

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Re : endomorphismes ortogonaux directe

Salut,

La matrice d'un endomorpnisme u dans une base orthonormale [tex](e_i)[/tex] s'exprime :
[tex]m_{i,j} = (u(e_i), e_j)[/tex]

D'où le résultat recherché.

mathieu64

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Re : endomorphismes ortogonaux directe

Merci pour l'explication.
Bonne journée.