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xtreboul

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Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

Bonjour!

Il me plait de créer cet espace pour la resolution de certains prb des IMO

Pour commencer

Problème 4. IMO-2006

Trouver tous les couples (x, y) d’entiers vérifiant : 1+2^(x)+2^(2x+1)=y².

Au Amateurs, la Bienvenue!

xtreboul

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Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

Vraisemblablement les seules solutions semblent être (x = 0 et y = 2)  et  (x = 4 et y = 23) !!!

plouf

Invité

Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

On va dire que les entiers sont strictement positifs...

On a [tex]2^x+2^{2x+1}=y^2-1=(y-1)(y+1)[/tex]. Donc y est impair : [tex]y=2k+1, k>=0[/tex].

Si on pose [tex]l=2^x[/tex], on a :
[tex]4k(k+1)=l(1+2l)[/tex].

Comme l est pair et 1+2l impair, l est un multiple de 8 : [tex]l=8m => m=2^{x-3}[/tex].

Par conséquent [tex]\frac{k(k+1)}{2}=m(1+16m)=2^{x-3}(1+2^{x+1})[/tex].

On a une solution particulière : k=11 et m=2 (soit l=16, ce qui donne x=4 et y=23). Et pour la solution générale, faut continuer à chercher... d'ailleurs c'est ce que je vais faire.

freddy

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Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

Salut,

j'ai x = 0 et y = 2 ; x = 3 et y = 5 ;  x = 4 et y = 7.

Et c'est tout ...

En fait il faut trouver x et y tq

[tex]2^x=\frac{y^2-1}{3}[/tex]

Dernière modification par freddy (20-04-2010 17:46:11)

xtreboul

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Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

Salut Freddy!

Mais

si x=3 et y=5 alors 1+2^(x)+2^(2x+1)=1+2^3+2^7=1+8+128=137 qui est different de 5²=25=y² !!!!

En fait pour x=4 on obtient y=23 et non y=7!!!

Merci de verifier.

freddy

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Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

Hello,

OK pardon, je n'avais pas bien vu. Bon, je code en Latex pour les autres lecteurs :

[tex]1+{2}^{x}+{2}^{2x+1}={y}^{2}[/tex]

J'aurais dû lire plouf avec plus d'attention. Alors on a :

[tex]{2}^{x}\left(1+{2}^{x+1}\right)=\left(y-1\right)\left(y+1\right)[/tex] et on rejoint bien l'analyse de plouf avec :

[tex]y=2k+1,\,k\,\geq 0[/tex]

[tex]{2}^{x}\left(1+2\times {2}^{x}\right)=4k\left(k+1\right)[/tex]

Sinon, on aurait une autre piste : en posant  [tex]X={2}^{x}[/tex] , on a une équation du second degré paramétrée par y de la forme :

[tex]2{X}^{2}+X+1-{y}^{2}=0[/tex], et tout revient à trouver les y entiers tq  [tex]1-8\left(1-{y}^{2}\right)=8y^2-7[/tex] soit un carré.

Dernière modification par freddy (22-04-2010 10:17:15)

freddy

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Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

Salut,

j'ai soumis le sujet à un impitoyable calculateur : pour x compris ente 0 et 100 et y entre 1 et 100.000, il n'y a que les deux solutions évoquées ci dessus.

Le problème est que calculer n'est pas démontrer.

Enjoy

xtreboul

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Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

Probleme 4, Olympiade Internationale de Mathematiques, Année 1994, Hong-Kong.

Déterminer tous les couples d'entiers positifs (n;m) tels que  [tex]\frac{{n}^{3}+1}{nm-1}[/tex] soit un entier.

Quelqu'un à - t - il trouvé plus de neuf (09) couples?

(n;m)
1...(1;2)
2...(1;3)
3...(2;1)
4...(2;2)
5...(2;5)
6...(3;1)
7...(3;5)
8...(5;2)
9...(5;3)

freddy

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Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

Salut,

non, pas un de plus, mais je ne sais comment le démontrer de manière irréfutable.

PhilPaclet

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Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

Bonsoir,
concernant l'équation 1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2, voici un plan de solution (beaucoup de détails ommis):
- on repart de la forme 2^x(1+2^(x+1)) = (y-1)(y+1) (*)
- posant y - 1 = 2^p y' et y +1 = 2^q y'' (p et q >= 1 car y impair) et r = min(p,q). Alors 2^r divise 2 donc r = 1.
- on a donc soit y - 1 = 2^{x-1} y' ou bien y + 1 = 2^{x-1} y'  avec y' impair.
- dans aucun des deux cas, y' = 1 est possible
- si on est dans le cas y - 1 = 2^{x-1} y', (*) devient 1 +2^(x+1) = y' ( 2^(x-2)y' +1) > 2^(x-2)y'^2 donc
y'^2 < 1/2^(x-2) + 2^3 < 9 pour x > 2 donc y' < 3; or y' impair, distinct de 1. Impossible
- si on est dans le cas y + 1 = 2^{x-1} y', on montre dans ce cas que y' < 4 (y' est une racine du trinome en y  2^(x-2) y'^2 - y' -1 - 2(x+1)) donc y' = 3
- en substituant y+1 par 3.2^(x-1) dans (*), on trouve que x = 4.

C'est sommaire, mais je crois que c'est correct.

freddy

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Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

Bonsoir,
concernant l'équation [tex]1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2[/tex], voici un plan de solution (beaucoup de détails omis):

- on repart de la forme [tex]2^x(1+2^{x+1}) = (y-1)(y+1)[/tex] (*)

- posant [tex]y - 1 = 2^p y' \;et\; y +1 = 2^q y''[/tex] ([tex]p \;et\; q \geq 1[/tex] car y impair) et r = min(p,q). Alors [tex]2^r[/tex] divise 2 donc r = 1.

- on a donc soit [tex]y - 1 = 2^{x-1} y' \;\text{ou bien}\; y + 1 = 2^{x-1} y'[/tex]  avec y' impair.

- dans aucun des deux cas, y' = 1 est possible

- si on est dans le cas [tex]y - 1 = 2^{x-1} y'[/tex], (*) devient [tex]1 +2^{x+1} = y' ( 2^{x-2}y' +1) > 2^{x-2}y'^2 [/tex] donc 

[tex]y'^2 < 1/2^{x-2} + 2^3 < 9[/tex]  pour x > 2 donc y' < 3; or y' impair, distinct de 1. Impossible

- si on est dans le cas [tex]y + 1 = 2^{x-1} y'[/tex], on montre dans ce cas que y' < 4 (y' est une racine du trinôme en y  [tex]2^{x-2} y'^2 - y' -1 - 2^{x+1}[/tex] donc y' = 3

- en substituant [tex]y+1 \;par\; 3\times 2^{x-1}[/tex] dans (*), on trouve que x = 4.

C'est sommaire, mais je crois que c'est correct.

Salut !
J'ai un peu corrigé, mais j'ai pu me tromper.
J'ai une question :

Alors [tex]2^r[/tex] divise 2 donc r = 1.

Pourquoi ?

Et comment fais tu pour passer de [tex]2^p\;\text{à}\;2^x[/tex] ?

Dernière modification par freddy (18-05-2010 12:32:34)

PhilPaclet

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Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

Bonjour Freddy,

- 2^r divise 2^p et 2^q donc y+1 et y-1 donc leur différence qui est 2 donc r <= 1 . Mais par ailleurs p et q sont tous deux >= 1 (car y-1 et y+1 sont pairs) donc r >= 1. Donc r = 1
- comme par ailleurs (*) s'écrit 2^x(1+2^x) = 2^(p+q)y'y'' avec y' et y'' impairs on en tire que x = p + q; d'où si r = p, q = x - r = x -1; si r=q, c'est p qui égale x-1.

Philippe

freddy

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Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

Salut Philippe,

c'est bien amené !!!

T'aurais une idée pour le second sujet ?

PS :  si tu pouvais coder en Latex, ce serait sympa. Merci d'avance.

Freddy

Dernière modification par freddy (19-05-2010 13:09:17)

PhilPaclet

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Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

Bonjour,
le pb IMO Hong-Kong 94 (n, m  entiers tels que  nm-1 divise [tex]n^3 + 1[/tex]) est vraiment intéressant.
Voici un plan de solution:
- Les identités:
[tex]n(n^2+m) = n^3 + 1 + mn -1[/tex]
[tex]n(m^2+n) = n^2 + m + m(mn-1)[/tex] et
[tex]m^3 + 1 = m(m^2 +n) - (mn -1)[/tex]
montrent que si n et m sont solutions, mn -1 divise non seulement [tex]n^3 + 1[/tex] mais aussi [tex]n^2 + m[/tex], [tex]m^2 + n[/tex] et [tex]m^3 + 1[/tex] (car mn-1 est premier avec n)

- Les couples solutions sont donc symétriques et on peut supposer que m <= n

- Pour m = 1, on a n - 1 divise [tex]m^2 + n = n +1[/tex] donc n-1 divise 2 et n = 2 ou 3

- Pour m= 2, on 2n -1 divise n + 4 donc 2n-1 divise 2n+ 8 et par suite 2n-1 divise 9 ; comme [tex]n>=m[/tex] le seul cas possible est n = 5.

- Pour m > 2, on va majorer le quotient (entier) de [tex]m^2 + n[/tex] par [tex]mn -1[/tex]
[tex]{{m^2 +n} \over {mn - 1} }= {{{m^2} \over {mn - 1}} + {{n} \over {mn - 1}}} <= {{{m^2} \over {m^2 - 1}} + {{n} \over {mn - 1}}} = {{{1} \over { 1 - {{1} \over m^2}}}} + {{1} \over {m -{ 1 \over n}}}}[/tex]
Or pour n >= m > 2, le premier terme est majoré par 9/8 et le second par 3/8, donc ce quotient entier est plus petit que 3/2. Il vaut donc 1.

- On a alors [tex]m^2 + n = mn -1[/tex], ce qui revient à [tex]n = m + 1 + {2 \over {m-1}}[/tex] d'où enfin m-1 divise 2, soit m = 3 (car m > 2)

Merci pour avoir signalé ce problème.
Penser que de jeunes concurrents aient su le résoudre en temps limité donne des frissons dans le dos: imaginer leurs capacités...
J'y ai moi passé (fort agréablement) plusieurs heures (et encore je n'ai pas eu à passer par la phase 'expérimentation')

Philippe

Dernière modification par PhilPaclet (30-05-2010 22:27:36)

freddy

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Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

Salut Philippe,

c'est bien, voire très bien. Toutefois, il y a une autre solution avec m=5 comme tu pourras le voir ici.

Aurais tu un complément de démonstration ?

PhilPaclet

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Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

Salut Freddy,
ne pas oublier que dans la discussion m <= n.
Les solutions où m = 5  donnent n = 3 ou n = 2   <m .
Je crois que la démonstration préalablement fournie est correcte. En quel point dois-je la préciser?
Phil

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Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

Salut,

OK sur mon petit écran du soir, je n'ai pas vu la déduction n=5 !

Donc le champ des solutions est couvert.

Bravo !

PhilPaclet

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Re : Espace Olympiade Internationale de Mathématiques (IMO)

A +
Phil