Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 18-04-2010 08:44:38
- nabil10
- Membre
- Inscription : 14-04-2010
- Messages : 46
demonstration a partir de l'integrale
bonjour!
soit une fonction continue sur [tex][0;\pi][/tex] et admettant une derivée dont le carré est integrable sur [tex][0;\pi][/tex].
montrer que si [tex]\int_0^{\pi}f(x)\;dx=0[/tex],
alors
[tex]\int_0^{\pi}(f(x))^2\;dx\leqslant\int_0^{\pi}(f'(x))^2\;dx[/tex]
Hors ligne
#2 18-04-2010 14:41:13
- JJ
- Membre
- Inscription : 04-06-2007
- Messages : 110
Re : demonstration a partir de l'integrale
Salut nabil10
Par hasard, est-ce que ce problème est posé à l'occasion d'une leçon sur les séries de Fourier ?
Parce qu'avec une décomposition en série de Fourier et la relation de Parseval, la démonstration est ultra simple ...
Hors ligne
#4 19-04-2010 10:59:51
- JJ
- Membre
- Inscription : 04-06-2007
- Messages : 110
Re : demonstration a partir de l'integrale
f(x) = Ao+Sigma (An.cos(n.x)) pour n=1 à infini
Ao = 0 car Somme f(x)dx pour x=0 à pi
Parceval : Somme f²dx = (pi/2)Sigma((An)²) car Ao=0
g(x) = df/dx = Sigma (-n.An.sin(n.x))
Parceval : Somme g²dx = (pi/2)Sigma((n.An)²)
n>1 donc n²An² > An²
donc Sigma((n.An)²) > Sigma((An)²)
Somme (df/dx)²dx > Somme f²dx
Hors ligne
#7 20-04-2010 20:29:32
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : demonstration a partir de l'integrale
Bonsoir,
Jette un coup d'oeil à l'inégalité de Poincaré (ou plus exactement celle de Poincaré-Wirtinger) qui correspond à ce que tu recherches et dont une démonstration peut se faire sans parler de série de Fourier (elle se généralise ainsi à des fonctions de plusieurs variables définies sur un ouvert assez général).
L'idée de la démonstration est d'utiliser l'égalité :
[tex]f(x) = \int_a^x f'(y) dy[/tex]
où [tex]a[/tex] est un point tel que [tex]f(a)=0[/tex], puis d'utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour majorer [tex]\int_0^{\pi} f(x)^2 dx[/tex]...
Roro.
Hors ligne