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nabil10

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derivée d'une fonction holomorphe sur un disque

bonjour tous le monde!

quelqu'un peut m'aider a résoudre cette exercice s'il vous plait??

soit f une fonction holomorphe sur le disque:
                                               KR={[tex]z\in\C[/tex]: \z-a\<R}

montrer que pour 0<r<R, on a

                             [tex]f'(a)=\frac{1}{r\pi}\int_0^{2\pi}Ref(a+re^{i\theta})e^{-i\theta}\;d\theta[/tex].

ici Ref designe la partie réelle de f.

merci pour votre aide

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : derivée d'une fonction holomorphe sur un disque

Bonsoir,

  Utilise le développement en série entière de f en a :
[tex]f(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n[/tex], valable pour tout z dans ton compact K.
Tu remplaces z par [tex]a+re^{i\theta}[/tex], tu calcules la partie réelle, tu permutes la somme et l'intégrale, puis tu calcules des intégrales....

Fred.