Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Léa

Invité

Topologie

Bonjour,
je me motive a essayer de démontrer moult propriétés de mon cours de topologie.
Voici une sur laquelle je bloque: l'interieur de A est un ouvert et c'est le plus grand ouvert contenu dans A.
Je lis partout que la première partie est trivial et évidente mais je ne vois pas comment le démontrer...

quelqu'un pour m'aider?

merci beaucoup

Léa

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Topologie

Salut,

va voir là : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … rieur.html

C'est une définition, en fait.

Léa

Invité

Re : Topologie

merci de ta réponse mais en fait j'aimerais déduire de ceci :
On appelle intérieur de A l'ensemble des points intérieurs à A. On dit qu'un point x est  intérieur à A si A est un voisinage de x
ceci : L'intérieur de A est le plus grand ouvert contenu dans A.

Comme ce sont deux définitions elles sont équivalentes mais j'aimerais trouver la démo de "première implique deuxiéme"

ciao

Léa

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Topologie

Salut,

  C'est parti.

1. D'abord, l'intérieur de A est contenu dans A (si A est voisinage de x, alors x est élément de A).

2. Ensuite l'intérieur de A est un ouvert.
Prenons en effet x dans l'intérieur de A.
Alors A est un voisinage de x.
Autrement dit, il existe r>0 tel que [tex]B(x,r)\subset A[/tex].

Maintenant, si [tex]y\in B(x,r)[/tex], alors y est élément d'un ouvert contenu dans A. C'est donc que A est un voisinage de y et que y est dans l'intérieur de A.

Autrement dit, si on prend n'importe quel point de l'intérieur de A, on peut trouver un ouvert contenant ce point est inclus dans l'intérieur de A : ce dernier ensemble est ouvert.

3. On va montrer que c'est le plus gros. Soit U un ouvert contenu dans A et soit x dans U. Alors [tex]x\in U\subset A[/tex] et donc A est un voisinage de x. Ceci implique que x est dans l'intérieur de A.
Ainsi, U est bien contenu dans l'intérieur de A.

A+

Fred.

Léa

Invité

Re : Topologie

Salut
Merci de ta réponse, je comprends les point 1 et 3 mais le 2 non (désolée)
J'aimerais comprendre sans les boules parceque ça m'embrouille, pour la phrase "autrement dit..." manque un qui non?

Autrement dit, si on prend n'importe quel point de l'intérieur de A, on peut trouver un ouvert contenant ce point QUI est inclus dans l'intérieur de A : ce dernier ensemble est ouvert.

je comprends pas, pour moi si on prend n'importe quel point de l'intérieur de A, on peut trouver un ouvert contenant ce point qui est inclus dans A non?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Topologie

je comprends pas, pour moi si on prend n'importe quel point de l'intérieur de A, on peut trouver un ouvert contenant ce point qui est inclus dans A non?

Ce n'est pas ce que j'ai écrit?
C'est cela que je voulais dire!

Fred.

POPOUCOSAM

Membre

Inscription : 28-11-2009

Messages : 5

Re : Topologie

Bonjour Léa,

Moi aussi, j' ai eu quelques difficultés, au début, avec ces nouvelles notions de topologie; Je t' envoie ce lien qui m' a été très utile:

http://forums.futura-sciences.com/mathe … cycle.html

A lire jusqu' à la réponse d' Homotopie, qui a fait là un remarquable effort de pédagogie.

Bonne lecture,

Popoucosam

Dernière modification par POPOUCOSAM (06-04-2010 14:02:48)

timtim

Membre

Lieu : Cocody, Abidjan (Côte d'Ivoire

Inscription : 03-04-2009

Messages : 8

Re : Topologie

excusez moi si je m'invite dans la causerie ce que je peux dire c'est que dans la définition même de l'intérieur c'est la réunion de tous les ouverts contenu dans l'ensemble donc comme c'est la réunion d'ouvert c'est bien un ouvert et c'est le plus grand des ouverts au sens de l'inclusion qui soit contenu dans l'ensemble je crois qu'avec cette définition de l'intérieur tout devrait aller merci

Léa

Invité

Re : Topologie

Salut à tous
timtim-> c'est sur qu'avec cette définition c'est direct mais moi j'aimerai partir d'une autre définition (celle de mon cours)

POPOUCOSAM-> en effet bien interessant, j'ai pas encore tout lu parceque bien dense aussi mais ça vaud le coup, merci!

Fred-> Je sais pas si tu voulais dire :
si on prend n'importe quel point de l'intérieur de A, on peut trouver un ouvert contenant ce point est inclus dans A. Ça je suis d'accord, ça découle de la def mais je crois pas que ça permette de déduire que int(A) est un ouvert

ou si tu voulais dire:
si on prend n'importe quel point de l'intérieur de A, on peut trouver un ouvert contenant ce point est inclus dans int(A). Ca je crois que j'ai réussi à le voir sur le dessin mais je sais pas comment les montrer mathématiquement. Par contre si on prouve ça, après suffit de dire que donc int(A) est inclus dans une union d'ouvert et donc est un ouvert. l'objectif quoi!

merci bien de votre participation

A+

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Topologie

si on prend n'importe quel point de l'intérieur de A, on peut trouver un ouvert contenant ce point est inclus dans int(A).

A+

Je reprends la démo de mon post en remplaçant simplement le mot "boule" par le mot "ouvert".

Soit x un point de l'intérieure de A. Alors A est un voisinage de x.
Autrement dit, il existe un ouvert U contenant x et contenu dans A.
Cet ouvert U est contenu dans l'intérieur de A, puisque pour tout y élément de U,
U est un ouvert contenant y et contenu dans A, donc A est un voisinage de y.

Fred.

Léa

Invité

Re : Topologie

Merci bien, cette fois j'ai compris
toujours aussi agréable ce site
A+