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Cédric

Invité

EDP non linéaire

Bonjour,

J'ai une équation différentielle d'ordre 1 sur un vecteur Z de taille N :
[tex]\textbf{B} \partial_t Z = \textbf{A}Z + \textbf{C}(Z^tZ)D + \textbf{E}(Z^tZ)\textbf{F}Z[/tex] (Les caractères gras indiquent les matrices)

Je dois calculer les modes propres, et les matrices sont essentiellement creuses. Cette EDP est comparable à un polynôme. Connaissez-vous des techniques autres que purement numériques ? Avez-vous des astuces sur ce type d'EDP?

Cordialement

Cédric

Invité

Re : EDP non linéaire

ps: désolé pour le double post

Roro

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Re : EDP non linéaire

Bonsoir Cédric,

Ton équation est effectivement une équation différentielle d'ordre 1 (mais ce n'est pas une EDP car il n'y a qu'une seule variable : t).

Pour l'instant j'ai juste quelques questions/remarques :

- Qu'est ce que tu appelles "modes propres" ?
- Quand tu dis que cette équation est comparable à un polynôme est ce que tu veux dire qu'elle ressemble à une équation de la forme y'(t)=P(y(t)) où P est un polynôme ?
- Si tu veux "résoudre" cette équation (c'est-à-dire trouver les solutions) ça ne me parait pas simple, d'ailleurs la durée de vie d'une solution n'est sans doute pas infinie...

J'attend que tu précises cette notion de "modes propres" pour savoir si je comprend un peu mieux ce que tu veux !

Roro.

Cédric

Invité

Re : EDP non linéaire

Bonjour,

Pour décrire ce que j'appelle mode propre, il faut avoir une idée de ce qu'il y a dans Z.
La première partie de Z : les déplacements selon les 3 axes de coordonnées, et leurs dérivées spatiales. Au total, 3 déplacements et 18 dérivées spatiales de ces déplacements.
La deuxième partie de Z : la première partie dérivée une fois par rapport au temps.

L'équation matricielle ci-dessous est vérifiée partout, tout le temps : [tex]Z=Z(x,y,t)[/tex]. Les termes A, B, ..., F sont constants "à l'intérieur". Ils diffèrent sur les bords où ils servent à implémenter les conditions aux limites.

La définition d'un mode propre de période T est  [tex]Z(x,y,t+T)=AZ(x,y,t) [/tex], T étant le même pour tout x et y. La période T et la "forme" dans l'espace du mode dépendent bien entendu des conditions aux limites. L'égalité ci-dessus n'ayant lieu que si les conditions initiales conviennent. Le coefficient A permettant de savoir si le mode explose ou est amorti ou s'il a une durée de vie infinie.

Pour le polynôme, c'est une impression. On a des vecteurs, donc  [tex]Z^2 [/tex] n'existe pas. Mais on a le produit  [tex]Z^tZ [/tex]. Si B est inversible, on se rapproche d'une équation de la forme  [tex]\partial_ty=P(y) [/tex] ?

ps : L'équation différentielle est valable partout. Les dérivées spatiales dans Z(x,y,t) dépendent d'ailleurs du déplacement autour de (x,y). Localement, c'est une EDP. Les égalités locales pouvant être résumées par une écriture matricielle globale, on peut dire que c'est une équation différentielle d'ordre 1... La "résoudre" me semble néanmoins compliqué!

Roro

Membre expert

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Messages : 1 801

Re : EDP non linéaire

Bonjour,

J'étais pas mal occupé ces derniers jours et je n'avais pas eu le temps de regarder ta réponse.

Si je comprend bien (ce qui est peu probable...), un mode propre de l'équation y'=P(y) serait une solution z telle qu'il existe un coefficient A et une période T pour lesquels z(t+T)=Az(t) pour tout t.

Lorsque l'équation est linéaire (P linéaire), il me semble qu'on arrive à trouver de tels modes mais lorsque P est plus compliqué alors là je suis plus perplexe (voir le P.S. en fin de message). A vrai dire je n'y connais pas grand chose sur ce type de problème mais si j'ai un peu de temps et que tu réponds à ce message je pourrais peut être un peu mieux comprendre ce qu'il y a derrière cette notion.

Roro.

P.S. Si z est ce que j'ai appelé un mode propre (ce qui n'est sans doute pas la définition usuelle) alors on a
z'(t+T) = A z'(t)
P(z(t+T)) = A P(z(t))
P(A z(t)) = A P(z(t)) ce qui assez incohérent...

Cédric

Invité

Re : EDP non linéaire

Bonjour,

Merci pour votre réponse.

Pour ton p.s., je suis d'accord, ça semble incohérent. En fait, ça implique, si [tex]P(t+T)=\alpha P(t)[/tex]
[tex]\forall k, entier positif, 0=(\alpha^{1+2k}-1)CZ^tZD+(\alpha^{2(k+1)}-1)EZ^tZFZ[/tex]...

Dans un cours de mécanique, j'ai trouvé une méthode pour le calcul des modes propres lorsque le comportement n'est pas linéaire :
-Linéariser l'équation
-Calculer les modes propres / valeurs propres
-Projeter l'équation non-linéaire sur la base des modes propres linéaires.

En fait, après avoir tourné les équations dans tous les sens, on a :
[tex]I_0 \partial_{tt} u_0 = A_{11}\partial_{xx}u_0+A_{66}\partial_{xx}v_0+A_{66}\partial_{xy}u_0+A_{12}\partial_{xy}v_0[/tex]
[tex]I_0 \partial_{tt} v_0 = A_{66}\partial_{yy}u_0+A_{11}\partial_{yy}v_0+A_{12}\partial_{xy}u_0+A_{66}\partial_{xy}v_0[/tex]
Cette partie est linéaire, avec les CL ça se résoud bien. L'autre partie est plus délicate :
[tex]I_0 \partial_{tt} w_0 - I_2 (\partial_{ttxx}w_0+\partial_{ttyy}w_0)  & = & -D_{11}\partial_{xxxx}w_0-D_{11}\partial_{yyyy}w_0-(2D_{12}+4D_{66})\partial_{xxyy}w_0[/tex]
[tex]+ \partial_{xx} w_0 \left[ A_{11}\partial_x u_0 + A_{12} \partial_y v_0
\right] + \partial_{yy} w_0 \left[ A_{11} \partial_y v_0 + A_{12} \partial_x u_0
\right][/tex]
[tex]+ \partial_{xy} w_0 \left[ 2 A_{66} \partial_y u_0 + 2 A_{66} \partial_x v_0
\right] + \partial_x w_0 \left[ I_0 \partial_{tt} u_0 \right] + \partial_y w_0 \left[ I_0 \partial_{tt} v_0
\right][/tex]
Le premier bloc donne une base de vecteurs propres (orthogonaux et normés à priori) qui est indépendante de w. Est-il rigoureux de considérer l'équation portant sur w comme linéaire? Elle en a tout l'air pour moi... Si oui, théorème de superposition, et on a les modes propres de w qui vont dépendre de ceux calculés précédemment. Qu'en pensez-vous? Au niveau de la stabilité numérique, des conseils?

Cédric

Invité

Re : EDP non linéaire

Bonjour,

J'ai calculé les modes propres associés au couple d'EDP qui régit la dynamique de u et v par la méthode des différences finies sous Matlab.

Connaissez-vous un moyen de valider les résultats obtenus ainsi ? (un autre outil simple pour résoudre ce type d'EDP par exemple)