Forum de mathématiques - Bibm@th.net

lilo

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Messages : 1

matrices

bonjour à tous!
je voudrais avoir un éclaircissement sur les matrices
quand est-ce qu'on dit qu'une matrice est scindé?
comment on fait pour diagonaliser et trigonaliser une matrice? et pourquoi on le fait?
comment élever une matrice à une puissance p-ième quelconque?
merci bcq!

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : matrices

Salut,

je te laisse prendre connaissance de ce lien interne : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … sable.html

Je peux t'indiquer qu'on diagonalise une matrice pour, justement, en calculer les puissances supérieures de manière aisée. La trigonalisation obéit à la même problématique : comment faire des calculs plus simples.

Je laisse à Fred le soin de compléter et préciser ces premières indications.

Bis bald

Fred

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Messages : 7 352

Re : matrices

Bonjour Lilo,

  On ne dit pas qu'une matrice est scindée. Au moins, je ne connais pas ce terme.
On dit plutôt que son polynôme caractéristique est scindé.
C'est-à-dire, s'il est de degré n, s'il admet n racines (comptées avec leur multiplicité).
Pour diagonaliser ou trigonaliser une matrice, on calcule son polynôme caractéristique,
on en déduit ses valeurs propres, on cherche les vecteurs propres associés, etc...
Ce serait un peu long de te donner tous les détails ici, ils sont certainement dans ton cours,
ou à défaut dans n'importe quel livre qui traite du sujet.

Pourquoi on diagonalise des matrices?  Pour plein de raisons :
*pour calculer la puissance p-ième d'une matrice : c'est très facile pour une matrice diagonale (il suffit de mettre les termes sur la diagonale à la puissance p);
*pour résoudre des systèmes d'équations différentielles;
*pour l'étude de certaines suites récurrentes;
*etc.....

Sous ce lien,
dans la fiche d'exercices consacrée à la réduction des endomorphismes, tu trouveras de quoi répondre en partie
à tes questions.

Fred.