Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 27-03-2010 12:17:52
- JeCl
- Membre
- Inscription : 27-03-2010
- Messages : 5
probleme de comprehension sur les estimateurs
Bonjour,
j'ai un petit souci de compréhension en statistique sur les estimateurs. voila l'énoncé :
Soit [tex]X_1, . . . ,X_n[/tex], une suite de variables aléatoires indépendantes issues d’une loi binomiale B(m, p). Le paramètre m est connu.
On cherche à estimer le paramètre [tex]0<p<1[/tex] au vu de l’échantillon [tex]X_1, . . . ,X_n[/tex].
Trouver le biais et la variance de l’estimateur [tex]\widehat p_n= X_1[/tex].
pour le biais :
[tex]b(X_1) = E(X_1) - p = np - p = p(n-1)[/tex]
pour la variance selon la correction :
[tex]v(X_1) = \frac{np(1-p)}{n} = p(1-p)[/tex]
la je ne comprends pas vraiment pourquoi on divise par n sachant que la variance dans la loi binomiale est [tex]v = np(1-p)[/tex]. Alors est ce que c'est du au fait qu'on cherche la valeur de la variance pour [tex]X_1[/tex] ?
j'ai un autre exercice du même style mais non corrigé pouvez me le corriger s'il vous plait
mêmes questions pour [tex]\widehat p_n= \bar X[/tex]
pour le biais :
[tex]
b(\bar X) = E(\bar X) - p
= \bar X - p
= np - p
= p(n-1)[/tex]
et pour la variance :
[tex]v(\bar X) = np (1-p)[/tex]
voila pouvez éclairer ma lanterne ?
Hors ligne
#2 27-03-2010 13:22:05
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : probleme de comprehension sur les estimateurs
Salut,
quel est le lien entre m et n ?
Pour ce que je pressens comprendre, l'idée est de te dire que le premier estimateur de p n'est pas terrible, tandis que le second est meilleur, car son biais = 0 (refais le calcul, celui que tu donnes est faux) et sa variance est minimale (là encore, refais ton calcul, il est faux). Mieux : sa variance converge vers 0 quand le nombre d'observations tend vers l'infini, donc ... Consulte ce lien et reviens nous voir.
Bis bald
Hors ligne
#3 27-03-2010 13:37:55
- JeCl
- Membre
- Inscription : 27-03-2010
- Messages : 5
Re : probleme de comprehension sur les estimateurs
Est ce que les formules de cette page sont valables tout le temps pour toute loi ?
Donc le biais vaudrait juste la formule :
[tex]b(\bar X) = \frac{X_1 + ... + X_n}{n} - p[/tex]
et la variance
serait la même que celle de la page http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ation.html
Hors ligne
#6 27-03-2010 17:16:13
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : probleme de comprehension sur les estimateurs
Re,
tu ne m'as toujours pas donné le lien entre m et n et je pense que ton pb est mal posé.
Dans le cas que j'ai donnée, tu observes la réalisation de n va de Bernoulli de paramètre p inconnu et tu cherches à l'estimer.
Maintenant, si on a n va B(m,p), alors ton premier estimateur a pour biais p(m-1) puisque [tex]E(X_1)=mp[/tex] !!!
Pour ton second estimateur, le biais est égal à [tex]\frac{nmp}{n}-p=p\left(m-1\right)[/tex]
Donc dans les deux cas, il faut que tu divises ton estimateur par [tex]\frac{1}{m-1}[/tex] avec m > 1.
Tu vois mieux ?
Dernière modification par freddy (27-03-2010 17:26:37)
Hors ligne
#7 27-03-2010 17:32:19
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : probleme de comprehension sur les estimateurs
Alors je confirme mon propos : tu as n va de Bernoulli de paramètre p uniquement.
Tu peux soit prendre une réalisation, soit la moyenne empirique de n observations. On montre que le second estimateur est meilleur que le premier qui est de toute façon sans biais.
A +
Hors ligne
#8 27-03-2010 17:57:28
- JeCl
- Membre
- Inscription : 27-03-2010
- Messages : 5
Re : probleme de comprehension sur les estimateurs
Re,
merci pour vos réponses,
j'ai fait un copié collé du support de cours, donc je ne sais pas s'il s'agit d'une erreur ou non, le prof nous a dit que cet exercice avait des résultats similaires au premier sans plus de détail.
Pardon pour le délai de compréhension, j'ai étais noyer sous les informations alors qu'on a pas vraiment de notion de statistique.
maintenant je comprends la démarche pour le calcul du biais.
si je comprends bien il faut diviser par [tex]m-1[/tex], pour obtenir un estimateur non biaisé.
Dernière modification par JeCl (27-03-2010 21:27:02)
Hors ligne