Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 23-03-2010 20:02:18
- Poaulo
- Membre
- Inscription : 22-03-2010
- Messages : 36
Sens de variation d'une fonction
Bonsoir. J'éprouve des difficultés dans l'exercice suivant :
Soit [tex]I[/tex] un intervalle [tex][a,b][/tex] de [tex]\mathbb{R}[/tex] avec [tex]a<b[/tex] et tel que l'intérieur de [tex]I[/tex] soit non vide. On dispose d'une application [tex]f[/tex] de [tex]I[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] continue sur [tex][a,b][/tex], dérivable sur [tex]]a,b[[/tex]. Alors on a :
1) [tex]f[/tex] croît ssi [tex]\forall x\in]a,b[\,, f'(x)\ge 0[/tex]
2) [tex]f[/tex] décroît ssi [tex]\forall x\in]a,b[\,, f'(x)\le 0[/tex]
1) [tex]f[/tex] constante ssi [tex]\forall x\in]a,b[\,, f'(x)=0[/tex]
Il s'agit d'expliquer pourquoi dans ce théorème, d'une part l'intérieur de I doit être non vide, et, d'autre part I doit être un intervalle. Il faut donner des "contres-exemples" simple je pense, mais je n'y parviens pas. Merci par avance.
Dernière modification par Poaulo (23-03-2010 20:03:03)
Hors ligne
#2 23-03-2010 20:49:10
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Sens de variation d'une fonction
Salut,
Si tu prends une fonction qui est définie sur [0,1]U[2,3], qui vaut 0 sur le premier intervalle et 1 sur le second, alors elle n'est pas constante et pourtant sa dérivée est nulle.
Un intervalle dont l'intérieur est vide est un singleton. Je ne vois pas trop où est le problème là-dedans (la condition [tex]\forall x\in]a,b[,\dots[/tex] est vraie puisqu'il n'y a rien dans ]a,b[. Mais une fonction définie sur un singleton est croissante, décroissante, constante...
Un contre-exemple classique dans ce type de problèmes est la fonction [tex]x^3[/tex]. Elle est strictement croissante, et pourtant sa dérivée s'annule.
Fred.
Hors ligne
#5 23-03-2010 23:18:14
- Poaulo
- Membre
- Inscription : 22-03-2010
- Messages : 36
Re : Sens de variation d'une fonction
Donc le théorème devient : soient a et b deux réels tels que [tex]a<b[/tex] et f une application de [tex][a,b][/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex]. On suppose [tex]f[/tex] continue sur [tex][a,b][/tex] et dérivable sur [tex]]a,b[[/tex] alors ... ?
Par ailleurs, avez-vous un contre-exemple à 1) et 2) ?
Merci !
Hors ligne
#6 24-03-2010 14:14:09
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Sens de variation d'une fonction
Un contre-exemple à quoi pour 1) et 2)? Au fait que I doit être un intervalle?
La même fonctionne que ci-desus fonctionne pour 2) : sa dérivée est nulle, donc vérifie la condition de 3), et pourtant f n'est pas décroissante.
Pour un contre-exemple à 1), il suffit d'échanger les intervalles où f prend 0 et où f prend 1.
Fred.
Hors ligne
Pages : 1