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#26 24-02-2010 13:28:25
- Valentin
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Re : problème d'analyse!
Post 20 et 21, j'ai compris ta démarche et je l'ai suivi, sauf que dans un premier temps j'ai fait varier le k et puis n. pourquoi tu as fait varier seulement n et pas k?
Post 17, j'avais compris pourquoi le produit de la suite était décroissante et positive, et peut -^etre aussi par définition convergente, mais la déduction de la somme de Un convergente, je ne l'avais pas capté, je pense qu'on peut supposer Un convergente si le produit de deux suites convergent!
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#27 24-02-2010 14:47:03
- freddy
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Re : problème d'analyse!
Post 20 et 21, j'ai compris ta démarche et je l'ai suivi, sauf que dans un premier temps j'ai fait varier le k et puis n. pourquoi tu as fait varier seulement n et pas k?
car k est l'indice de sommation qui varie de 1 à n, donc il varie tout seul, tandis que n le nombre de somme de termes, et c'est donc un paramètre qu'il faut analyser.
Post 17, j'avais compris pourquoi le produit de la suite était décroissante et positive, et peut-être aussi par définition convergente, mais la déduction de la somme de Un convergente, je ne l'avais pas capté, je pense qu'on peut supposer Un convergente si le produit de deux suites convergent!
Je crois que tu n'as pas compris que [tex]W_n= \sum_i^n U_i[/tex] converge car cette somme partielle forme une suite positive, croissante et majorée, donc convergente !
Sa limite positive est majorée par le quotient [tex] \frac{S_1-L}{C}[/tex] avec [tex]L = \lim_{n \to \infty}S_n = \lim_{n \to \infty} U_n\times V_n >0[/tex].
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#28 25-02-2010 16:59:01
- Valentin
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Re : problème d'analyse!
Salut Freddy,
Je reprends l'ensemble de la question sur la suite convergente:
Soit [tex]{{U}_{n}}\,une\,suite\,strictement\,positive.\,Montrer\,que,\,s'il\,existe\,une\,suite\,{{V}_{n}}\,strictement\,positive\,et\,une\,cons\tan te\,C>0\,[/tex] vérifiant : [tex]\frac{{V}_{n}{U}_{n}}{{U}_{n+1}}-{V}_{n+1}\geq C\,,\,\forall n\geq 1,\,alors\,\sum^{+\infty }_{n=1}{U}_{n}<+\infty [/tex]
[tex]\frac{{V}_{n}{U}_{n}-{V}_{n+1}{U}_{n+1}}{{U}_{n+1}}\geq C,\,\forall n\geq 1[/tex]
Comme [tex]C{U}_{n+1}>0\,\Rightarrow {V}_{n}{U}_{n}>{U}_{n+1}{V}_{n+1}[/tex]
[tex]\Rightarrow \left({U}_{n}{V}_{n}\right)\,est\,strictement\,décroissante,\,\forall n\geq 1[/tex]
Jusqu'à maintenant pas de problème.
Le problème: est-ce que [tex]{U}_{n}{V}_{n}\,converge?[/tex]
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#30 25-02-2010 17:36:35
- Valentin
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Re : problème d'analyse!
Salut Valentin
une suite positive décroissante n'est elle pas nécessairement convergente, car minorée par 0 ???
Allons, allons Valentin, relis ton cours ! ...
ok Freddy! dans mon devoir, je dois seulement l'affirmer sans le démontrer ou bien je dois l'affirmer et le démontrer?
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#31 25-02-2010 20:15:17
- freddy
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Re : problème d'analyse!
Salut Valentin,
cela fait partie des théorèmes connus, conséquence logique de la définition de la convergence et de celle de la monotonie d'une suite.
Exemple : toute suite croissante et majorée EST convergente ; toute suite décroissante et minorée EST convergente.
Donc, après avoir montré que les conditions d'application du théorème étaient vérifiées (ici, la suite est positive, donc minorée par 0, et décroissante, donc convergente), tu cites le théorème sans le démontrer à nouveau (sinon, inutile de construire des théorèmes).
Dernière modification par freddy (25-02-2010 20:15:35)
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#32 01-03-2010 11:31:50
- Valentin
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Re : problème d'analyse!
salut Freddy,
ok merci la question de la suite est réglée et celle du binome de Newton. J'ai encore d'autres questions, s'il est possible de me donner des pistes.
7) Montrer que, si l'angle T est tel que : [tex]\cos \left(T\right)+\sin \left(T\right)\in Q,\,alors\,{\left(\cos \left(T\right)\right)}^{n}+{\left(\sin \left(T\right)\right)}^{n}\in Q,\,\forall n\in N[/tex]
je bloque, j'ai essayé avec la récurrence, je ne suis pas arrivé!
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#33 05-03-2010 18:42:39
- freddy
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Re : problème d'analyse!
Salut,
il n'y a pas de récurrence à faire, il suffit de dire si que un tel angle T existe, alors cosT et sinT sont, séparément, éléments de Q => cela suffit à établir ton résultat, puisque (Q, +, X) est un corps ...
Je ne vois pas où est le pb.
Bb
Dernière modification par freddy (06-03-2010 17:31:06)
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#34 08-03-2010 13:42:47
- Valentin
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Re : problème d'analyse!
Bonjour,
Est-ce que quelqu'un peut expliquer ce problème:
on a : 1) (e) [tex]\cos \left(\left(n+1\right)x\right)+\cos \left(\left(n-1\right)x\right)=2\cos \left(x\right)\cos \left(nx\right),\,\forall n\geq 1[/tex]
En utilisant la formule [tex]\cos \left(T\right)=\frac{e\left(iT\right)+e\left(-iT\right)}{2}[/tex] , déduire de (e) que pour tout n>=1,
[tex]{z}^{n}+{z}^{-n}={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right),\,\forall z\in C\,tel\,que\,\left|\left|z\right|\right|=1\,[/tex] où [tex]{P}_{n}[/tex] est un polynôme de degré n dont les coefficients sont des éléments de Z (entier relatif).
2) Montrer que le résultat du point 1) reste vrai pour tout z non nul, càd, [tex]{z}^{n}+{z}^{-n}={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right),\,\forall z\in C\left\{0\left\{\right.\right.[/tex]
Merci!
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#35 15-03-2010 16:53:06
- valentin1
- Invité
Re : problème d'analyse!
Bonjour,
Est -ce que quelqu'un peut m'expliquer ce problème:
[tex]\cos \left(\left(n+1\right)x\right)+\cos \left(\left(n-1\right)x\right)=2\cos \left(x\right)\cos \left(nx\right),\,\forall n\geq 1\,\,\left(1\right)[/tex]
1)En utilisant la formule : [tex]\cos \left(T\right)=\frac{e\left(iT\right)+e\left(-iT\right)}{2}[/tex] , en déduire de (1) que, pour tout n>=1,
[tex]{z}^{n}+{z}^{-n}={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right),\,\forall z\in C\,tel\,que\,\left|z\right|=1\,où\,{P}_{n}[/tex] est un polynôme de degré n dont les coefficients sont des éléments [tex]Z[/tex]
2) Montrer que le résultat du point 1) reste vrai pour tout z non nul,càd,
[tex]{z}^{n}+{z}^{-n}={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right),\,\forall z\in C\\left\{0}\right.[/tex]
Merci,
#36 16-03-2010 15:31:02
- freddy
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Re : problème d'analyse!
Salut,
je te réponds pour m'amuser, je n'ai toujours pas compris le sens profond de ton poblème.
1) (e) [tex]\cos \left(\left(n+1\right)x\right)+\cos \left(\left(n-1\right)x\right)=2\cos \left(x\right)\cos \left(nx\right),\,\forall n\geq 1[/tex]
Réponse : ce résultat s'obtient facilement en se souvenant que [tex]\cos(x)+\cos(y)=\frac12\cos\left(\frac{x + y}{2}\right)\cos \left(\frac{x - y}{2}\right)[/tex]
En utilisant la formule [tex]\cos(T)=\frac{e^{iT}+e^{-iT}}{2}[/tex] , déduire de (e) que pour tout n>=1,
[tex]{z}^{n}+{z}^{-n}={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right),\,\forall z\in C\,tel\,que\,\left|\left|z\right|\right|=1\,[/tex] où [tex]{P}_{n}[/tex] est un polynôme de degré n dont les coefficients sont des éléments de Z (ensemble des entiers relatifs).
Réponse : On sait que si [tex]z=\cos(x)+i\sin(x),\;alors\;z^n=\cos(nx)+i\sin(nx)[/tex] cf formule de Moivre.
Par conséquent [tex]z^n+z^{-n}=2\cos(nx)=\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^n+\left(\cos(x)-i\sin(x)\right)^n[/tex] ce qui permet de reboucler avec les questions posées plus haut en posant x=T.
Dis voir, Valentin1, tu peux demander à Valentin dans quelle pochette - surprise il a trouvé ce pb ? Et serait il possible d'en avoir l'énoncé exact, je pressens qu'il doit être très intéressant ?
2) Montrer que le résultat du point 1) reste vrai pour tout z non nul, càd, [tex]{z}^{n}+{z}^{-n}={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right),\,\forall z\in \C \backslash \{0\}[/tex]
Réponse : comme le résultat du point 1) est faux, inutile de continuer.
Dernière modification par freddy (16-03-2010 19:18:27)
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#40 24-03-2010 14:55:30
- freddy
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Re : problème d'analyse!
Salut Valentin,
j'ai regardé le document.
Je confirme que le sujet est abscons !!! je ne sais qui l'a composé, mais sûrement pas un matheux de L1. A ce propos, tu es en quelle année de quoi ?
Je laisse Fred s'exprimer s'il en a le temps, de mon côté, je le range dans mon répertoire des "horreurs" pédagogiques. Le mieux serait que tu détruises le topic, pour ne pas laisser trainer des bêtises sur le site.
Comme je suis curieux de nature, je vais essayer de trouver l'idée de base des exos. et de réecrire le sujet. Mais cela peut prendre un peu de temps.
Bb
[Mode Râleur in petto] 'tain, l'a pas autre chose à foutre, le freddy ??? Pourtant, tant qu'il n'aura pas trouvé le bon sujet, cherchera, car il pressent que les idées étaient intéressantes ... se refera pas, le freddy, mais bon, avec le boulot à côté, ça va prendre un peu de temps ... [/mode râleur dans sa barbe]
Dernière modification par freddy (26-03-2010 00:06:57)
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#42 10-04-2010 08:55:26
- freddy
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Re : problème d'analyse!
Salut,
il ya qques réponses là : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 596#p20596
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#43 13-04-2010 12:18:43
- Valentin
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Re : problème d'analyse!
Bonjour,
Maintenant c'est jusqu'à la rentrée de mai que j'aurais à rendre mon "bizare" devoir. Je sollicite vraiment l'aide de celui ou celle qui voudrait bien m'aider! et un grand merci d'avance!
Valentin
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#44 16-04-2010 09:40:47
- Valentin
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Re : problème d'analyse!
freddy a écrit :Salut,
je ne fais aucune hypothèse sur la nature de la suite de terme général [tex]U_n[/tex], je déduis simplement que la série de terme général [tex]U_n[/tex], , soit la suite de terme général [tex]W_n=\sum_{1}^n U_p[/tex], est convergente si les conditions de l'énoncé sont respectées.
Par contre, il est clair que la suite de terme général [tex]W_n[/tex] est positive et croissante.
C'est plus clair pour toi ?
Salut Freddy,
Pour moi, il est plus clair que, d'après l'énoncé, le produit de deux suites U(n)V(n) est strictement décroissante et positive, elle peut converger. Mais, je ne vois pas comment déduire à partir de ce produit que la suite U(n) croissante ou décroissante et converge, et donc la somme de U(n) converge. à moins que j'utilise les inégalités triangulaires! je dois essayer, je doute que ça marche!
J'ai trouvé la réponse à cette question dans un livre de L1-2, il s'agit en fait d'un test de Kummer, c'est exactement le même énoncé tant pour la convergence que pour la divergence. La démonstration est la même que celle qu'on a déjà débattue, sauf qu'il fallait conclure par un test de comparaison! Cette question est clôturée. Merci Freddy pour ton aide à cette question! Mais, il me reste le fameux polynôme que j'ai bien du mal à capter!!!! Et je voudrais votre aide!
Valentin
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#45 16-04-2010 09:55:40
- Valentin
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Re : problème d'analyse!
Valentin a écrit :freddy a écrit :A première vue pour la question 1, développe selon la formule du binome de Newton de la forme :
[tex]\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}[(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k+(-1)^k(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k][/tex]
et regarde selon la parité de k ...
Ok! il n'y a pas d'autres méthodes que celle de la formule du binome de Newton?
Si tu réfléchis qques minutes, tu vas t'apercevoir, grâce à la parité sur k, qu'il va te rester des termes dont les puissances sont paires => somme de produits de nombres entiers, ce qui permet de démontrer le résultat.
Non, non, ne remercie pas, nous sommes à ton service !
En fait, là aussi c'est la même démonstration que j'ai vu dans les annales de 2 année de PSI, ils font varier le k et en ont conclu que le résultat est entier pair! Ton idée est bonne Freddy! Cette question est aussi close!
Valentin
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#46 16-04-2010 11:40:50
- freddy
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Re : problème d'analyse!
Valentin , Valentin ... sais tu voir et comprendre ?!!!
Si tu ne fais pas l'hypothèse supplémentaire que n est un entier PAIR, alors le résultat est faux ! ...
Regarde bien le texte auquel tu fais référence (PSI), c'est certain que n est pair.
Sinon, je t'ai déjà montré que le résultat est faux quand n est un entier impair.
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#47 19-04-2010 10:13:44
- Valentin
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Re : problème d'analyse!
Salut Freddy,
Effectivement dans le texte de annales de 2eme année de PSI, il est précisé dans l'énoncé que n est un entier pair, ce qui simplifie le problème. Tandis que dans mon problème, on me laisse libre choix de poser des hypothèses pour trouver que le résultat est bien un entier... L'idée j'en ai déjà compris! Mon grand problème c'est ce fameux polynôme que je ne comprends toujours pas: [tex]{z}^{n}+{z}^{-n}={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right),\forall z\in C\,tel\,que\,\left|z\right|=1\,avec\,{P}_{n}un\,polynome\,de\,degré\,n\,dont\,les\,coeffs\,sont\,des\,éléments\,de\,Z[/tex]
Comment P(n) peut-il être un polynôme de degré n? Il y a ici une contradiction! je rame, au secours!!!
Freddy ou quelqu'un d'autre, tu peux m'expliquer la question 7 du sujet:
Montrer que, si [tex]a\,\left(angle\right)\,est\,tel\,que\,\cos a+\sin a\,\in Q,\,alors\,{\left(\cos a\right)}^{n}+ {\left(\sin a\right)}^{n} \in Q,\,\forall n\in N[/tex]
Merci
Valentin
Dernière modification par Valentin (19-04-2010 10:18:42)
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#48 19-04-2010 13:54:07
- freddy
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Re : problème d'analyse!
Salut valentin,
tu viens de vérifier ce que je pense depuis le début : tu as un ensemble de sujet de math dont certains n'ont pas de sens. En particulier, ce fichu polynôme ...
Pour ta seconde question, il faut simplement que tu vérifies que si on a deux nombres x et y tq la somme (x+y) est un nombre rationnel, alors x et y sont aussi deux rationnels indépendamment l'un de l'autre.
Une fois que tu auras prouvé ce point, la suite viendra toute seule.
"Patience dans l'azur ... " disait Hubert Reeves.
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#49 20-04-2010 13:25:46
- Valentin
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Re : problème d'analyse!
Bonjour à tous,
Je suis vraiment navré de vous avoir présenté un sujet contenant de multiples erreurs. Mon prof vient, en fait, de le revoir (après lui avoir alerté à plusieurs reprises, bien entendue) et de le modifier. Freddy pourrait mettre en ligne, si cela ne lui dérange pas trop, la version modifiée que je lui ai envoyé par mail. Encore désolé à tous!
Valentin
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#50 20-04-2010 13:41:45
- Valentin
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Re : problème d'analyse!
Pour la question du polynome, en fait, il faut lire : [tex]{z}^{n}+{z}^{-n}={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right)\,càd\,{P}_{n}dépend\,de\,z+{z}^{-1\,}et\,non\,pas\,multiplié\,par\,z+{z}^{-1}[/tex]
Dans ce cas, je pense qu'il s'agit d'un polynome de Tchebychev de première espèce, je suis donc arrivé à:
[tex]\cos \left(nx\right)={P}_{n}\left(\cos \left(x\right)\right)\Longleftrightarrow {z}^{n}+{z}^{-n}={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right)\,avec\,{P}_{n}={\sum^{E\left(\frac{n}{2}\right)}_{p=0}}^{}_{}{\left(\cos \left(x)\right)\right)}^{n-2p}{\left({\cos }^{2}\left(x\right)-1\right)}^{p}{C}^{2p}_{n}[/tex]
après je ne sais pas!
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