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sarah128

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probabilités : les variables aléatoires

Bonjour tout le monde,
s'il vous plait essayez de me resoudre ces 2 exercices de probabilités qui portent sur les variables aléatoires,

EXERCICE 1

une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires. un joueur tire successivement 5 boules avec remise. s'il tire une boule blanche, il gagne 2 points, sinon il en perd 3
soit X le nombre de boules blanches et Y le nombre de points obtenues.
1) determiner la loi de X, puis E(X) et V(X)
2) exprimer Y en fonction de X, en deduire la loi de Y, puis E(Y) et V(Y).
3) refaire l'exercice si l'on suppose que le jeu est sans remise.

EXERCICE 2

un vendeur de journaux achete ses journaux à 10 centimes et les revend à 15 centimes. cependant il ne peut pas se faire remboursser les exemplaires invendus. si la demande journaliére est une variable aléatoire BINOMIALE de parametre n=300 et p=1/3
1) quel est approximativement le nombre de journaux qu'il doit acheter afin de maximiser l'esperance de son benefice.

merciiii d'avance !!

freddy

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Re : probabilités : les variables aléatoires

Salut,

tout d'abord, on voit bien que X peut prendre les valeurs entières comprises entre 0 et 5. Ensuite, on voit tout aussi bien que la probabilité d'obtenir une boule blanche à chaque tirage est égale à [tex]\frac{2}{10}=0,20[/tex]
On en déduit que X est variable aléatoire discrète qui suit une loi [tex]\mathcal{B}(n,p)[/tex] de paramètre n= ... et p= ...

On en déduit E(X) et V(X) !

On considère maintenant Y.  A l'évidence, on a :

[tex]si\; X = 0,\; Y = -15 \;; si\; X = 1,\; Y = -12+2 = -10 \;; si\; X = 2,\; Y = -9+4 = -5 \;; si\; X = 3,\; Y = -6+6 = 0 \;; si\; X = 4,\; Y = -3+8 = 5, \;et\; si\; X = 5, Y = 10[/tex].

Manifestement, on peut résumer comme suit : [tex]Y = -15 + 5X[/tex].

On a [tex]E(Y) = -15 + 5\times E(X)\; et\; V(Y)=25\times V(X)[/tex] !

Dernière modification par freddy (17-03-2010 20:13:52)

freddy

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Re : probabilités : les variables aléatoires

Je continue ...

en fait, l'exo 1 est une application directe du cours sur les v. a binomiales. IL faut juste trouver les paramètres.

Si tirage sans remise, alors X peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2 et Y = -15+5X.

Par contre, la loi est quelconque. On a :

[tex]Prob(X=0) = \frac{\binom{8}{5}}{\binom{10}{5}},\;Prob(X=1)=\frac{\binom{8}{4}\times \binom{2}{1}}{\binom{10}{5}},\;Prob(X=2)=\frac{\binom{8}{3}\times \binom{2}{2}}{\binom{10}{5}}[/tex]

Ensuite, il suffit de faire les calculs, je pense que c'est à ta portée ...

Dernière modification par freddy (17-03-2010 07:33:09)

freddy

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Re : probabilités : les variables aléatoires

Je reviens pour le second exo.

Soit V le nombre de journaux vendus, et Y le nombre de journaux achetés.

Le bénéfice est donné par [tex]B=15\times Min(V,Y)-10.Y[/tex], exprimé en centimes d'Euro.

C'est une variable aléatoire, car V est une variable aléatoire. Le bénéfice espéré est donné par :

[tex]E(B) = 15\times Min[E(V),Y]-10.Y[/tex] puisque Y est certain.

Puisque V suit une va binomiale de paramètre [tex]p=\frac13 \;et\; n=300,\; alors\; E(V)=100 \;\left(et\; Var(V)=\frac{200}{3}\right)[/tex]

Donc si le vendeur de journaux achète 100 exemplaires chaque jour, son bénéfice espéré = 500 centimes d'Euro.

C'est le bénéfice espéré maximal.

Supposons en effet que Y < E(V) = 100.

Alors E(B) = 5Y < 500.

Supposons a contrario que Y > E(V)=100.

Alors E(B)= 1.500 - 10Y < 500 puisque 10Y > 1.000.

il est donc optimal d'acheter 100 journaux chaque jour.

PS : ce qui est intéressant est de calculer la variance du bénéfice, car chaque jour, il n'est pas dit qu'il puisse vendre tous les journaux acquis.

Puisque Y = 100, alors B=15.Min(V,100)-1.000 et on a les proba suivantes :

Prob(B = 500)=1-Prob(V<100)

Prob(B = 15x-1.000 ) = Prob(V=x) avec x compris entre 0 et 99.

Dernière modification par freddy (17-03-2010 20:35:14)