problème d'analyse!

valentin · 15-02-2010 09:15:12

Bonjour,
Pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît, à résoudre ce problème:
1)Soient m,n>=1 deux entiers. Montrer que:
[racinecarre(m+1)+racinecarre(m)]^n appartient à N(entien naturel)
Est-il vrai que: racinecarre(m+1)-racinecarre(m)<1?
2)On note {x}=x-[x] la partie fractionnaire de x réel (par exemple, {racinecarre{5/2}=2). Utiliser les résultats du point 1) pour calculer lim{[racinecarre(m+1)+racinecarre(m)]^n quand n tend vers +infini (m>=1 entier)

3)Montrer que, si l'angle T est tel que cos(T)+sin(T) €(appartient à) Q(rationnel), alors (cos(T))^n+(sin(T))^n €Q, pour tout n€N

4)Soit {Un:n>=1} une suite strictement positive. Montrer que, s'il existe une suite {Vn} strictement positive et une constante C>0 vérifiant : [UnVn/U(n+1)]-V(n+1)>=C, pour tout n>=1, alors somme(Un) converge (1<=n<infini)
D'avance merci!
Valentin

freddy · 15-02-2010 09:46:50

Bonjour,

en Latex, c'est mieux.

1)Soient m,n>=1 deux entiers. Montrer que:

[tex]\left(\sqrt{m+1}+\sqrt{m}\right)^n +\left(\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\right)^n\in \N[/tex]. Remarque : j'ai modifié l'énoncé qui était incomplet, mais de toute façon, le résultat est faux ... Pour s'en convaincre, il suffit de prendre m=n=1 !!!

Est-il vrai que: [tex](\sqrt{m+1}-\sqrt{m}) < 1[/tex] ?

2)On note {x}=x-[x] la partie fractionnaire de x réel (par exemple, [tex]\{\frac{5}{2}\}=\frac12[/tex]).

remarque : ton sujet dit (par exemple, [tex]\{\sqrt{\frac52}\}=\frac12[/tex]), ce qui est manifestement faux.

Utiliser les résultats du point 1) pour calculer

[tex]\lim_{n \to \infty} \{(\sqrt{m+1}+\sqrt{m})^n\}[/tex] (m>=1 entier)

3)Montrer que, si l'angle T est tel que

[tex] cos(T)+sin(T) \in \Q => (cos(T))^n+(sin(T))^n \in \Q, \forall n \in \N[/tex]

4)Soit [tex]{U_n,\;n \geq 1}[/tex] une suite strictement positive. Montrer que, s'il existe une suite [tex]V_n[/tex] strictement positive et une constante C>0 vérifiant :[tex] \frac{U_nV_n}{U_{n+1}}-V_{n+1}\geq C,\; \forall n \geq 1 [/tex], alors somme(Un) converge (1<=n<infini)

Dernière modification par freddy (25-03-2010 23:54:57)

freddy · 15-02-2010 12:15:29

Salut Valentin,

j'ai codé en Latex (yoshi aussi, incognito) pour rendre ton interessant sujet plus lisible.

Merci à l'avenir d'apprendre à le faire, c'est très facile.

Sinon, peux tu nous dire où tu "sèches" ? ou bien où tu bloques ?

une petite remarque : de mon temps, on appelait mantisse le réel x-int(x). C'est pourquoi j'ai repris la notation m(x) ! Cela étant, j'ai un sérieux doute sur ton exemple. D'ailleurs, mon sceptisme s'empare de mon esprit au fur et à mesure que je prends connaissance de tes questions ... je te remercie par avance de tes lumières.

A plus !

Dernière modification par freddy (15-02-2010 12:18:26)

valentin · 15-02-2010 13:55:07

Salut Freddy,
Merci pour le code!
Je suis bloqué sur tout. Au 1), je ne vois pas comment montrer que [tex]{\left(\sqrt{m}+\sqrt{m+1}\right)}^{n}+{\left(\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\right)}^{n}\in N[/tex]

et aussi au 2, il ne s'agit pas de la mantisse, mais [tex]\left\{x\left\{=x-\left[x\right]\right.\right.[/tex]

freddy · 15-02-2010 14:36:51

Salut,

Ok pour la définition de la partie fractionnaire, je me suis précipité sur une vieille notion avec la mantisse (qui désigne la même chose) !!!

Sinon, je remarque que tu ne nous a pas donné exactement le sujet de ton problème : la première question a déjà bien changé entre ton premier post et le # 4 !!!

Tu pourrais y remédier ?

merci d'avance

Dernière modification par freddy (25-03-2010 23:46:05)

freddy · 15-02-2010 14:57:38

A première vue pour la question 1, développe selon la formule du binome de Newton de la forme :

[tex] \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}[(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k+(-1)^k(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k][/tex]

et regarde selon la parité de k ...

Valentin · 15-02-2010 16:16:26

freddy a écrit :

A première vue pour la question 1, développe selon la formule du binome de Newton de la forme :
[tex] \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}[(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k+(-1)^k(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k][/tex]
et regarde selon la parité de k ...

Ok! il n'y a pas d'autres méthodes que celle de la formule du binome de Newton?

valentin · 15-02-2010 17:13:44

Alors je vous donne le problème complet, c'est mieux.
Pour tout n>=1, cos((n+1)x)+cos((n-1)x)=2cos(x)cos(nx) (E)
I) 1)En utilisant, la formule cos(T)= [tex]\frac{1}{2}\left({e}^{iT}+{e}^{-iT}\right)[/tex] , déduire de (E) que, pour tout n>=1, [tex]{z}^{n}+{z}^{-n}={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right),\,\forall z\in \mathbb{C}\,tel\,que\,\left|z\right|=1\,où\,{P}_{n}est\,un\,polynome\,de\,degré\,n\,dont\,les\,cofficients\,sont\,des\,éléments\,de\,\mathbb{Z}[/tex]
2)Montrer que le résultat du point 1) reste vrai pour tout [tex]z\,non\,nul,{z}^{n}{+}^{}{z}^{-n}={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right),\,\forall z\in \mathbb{C}\\left\{0\left\{\right.\right.\,[/tex]

3)On admet que [tex]\sqrt{3}[/tex] est irrationnel. Déduire du point 2) que, pour tout entier n>=1,
[tex]\sqrt[n]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\sqrt[n]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}[/tex] est irrationnel.

II) 4)Soient m, n>=1 deux entiers. Montrer que : [tex]{\left(\sqrt{m+1}+\sqrt{m}\right)}^{n}+{\left(\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\right)}^{n}[/tex] appartient à N
Est-il vrai que [tex]\sqrt{m+1}-\sqrt{m}<1[/tex] ?
5)On note [tex]{x}=x-\left[x\right][/tex] la partie fractionnaire de [tex]x\in \mathbb{R}[/tex] (par exemple, [tex]{\sqrt{\frac{5}{2}}}=2[/tex] )
Utiliser les résultats du point 4) pour calculer [tex]{\lim }_{n\rightarrow \infty }{\left(\sqrt{m+1}+\sqrt{m}\right)}^{n}\,,\left(m\geq 1\,entier\right)[/tex]
Voilà pour l'ensemble du problème, si vous pourriez me l'expliquer merci d'avance.
Valentin

Fred · 15-02-2010 21:12:43

Valentin a écrit :

Ok! il n'y a pas d'autres méthodes que celle de la formule du binome de Newton?

Pourquoi, elle ne te convient pas celle-ci?
C'est sans doute la plus appropriée pour cette question.

Pour démontrer que [tex]\sqrt{m+1}-\sqrt m<1[/tex],
utilise la quantité conjuguée!

Fred.

valentin · 16-02-2010 09:42:43

Fred a écrit :

Valentin a écrit :
Ok! il n'y a pas d'autres méthodes que celle de la formule du binome de Newton?
Pourquoi, elle ne te convient pas celle-ci?
C'est sans doute la plus appropriée pour cette question.
Pour démontrer que [tex]\sqrt{m+1}-\sqrt m<1[/tex],
utilise la quantité conjuguée!
Fred.

Salut Fred,
La méthode de Newton est trop lourde à utiliser et ne montre pas vraiment l'égalité, même si on jouerait sur la parité de k!
Par contre, pour démontrer [tex]\sqrt{m+1}-\sqrt{m}<1[/tex] la quantité conjuguée convient et en passant par des encadrements: on aurait

[tex]\frac{1}{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}<1[/tex]
Valentin

Valentin · 16-02-2010 09:58:42

Sinon, comment montrer que, s'il existe une suite [tex]{U}_{n}[/tex] strictement positive et une constante C>0 vérifiant [tex]\frac{{U}_{n}{V}_{n}}{{U}_{n+1}}-{V}_{n+1}\geq C\,,\forall n\geq 1,[/tex]
alors [tex]\sum^{+\infty }_{n=1}{V}_{n}<+\infty[/tex] ( [tex]{V}_{n}>0\,,\forall n\geq 1[/tex] )
Valentin

freddy · 17-02-2010 12:52:14

Valentin a écrit :

freddy a écrit :
A première vue pour la question 1, développe selon la formule du binome de Newton de la forme :
[tex]\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}[(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k+(-1)^k(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k][/tex]
et regarde selon la parité de k ...
Ok! il n'y a pas d'autres méthodes que celle de la formule du binome de Newton?

Si tu réfléchis qques minutes, tu vas t'apercevoir, grâce à la parité sur k, qu'il va te rester des termes dont les puissances sont paires => somme de produits de nombres entiers, ce qui permet de démontrer le résultat.

Non, non, ne remercie pas, nous sommes à ton service !

Dernière modification par freddy (17-02-2010 12:53:21)

Valentin · 18-02-2010 10:22:40

freddy a écrit :

Valentin a écrit :
freddy a écrit :
A première vue pour la question 1, développe selon la formule du binome de Newton de la forme :
[tex] \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}[(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k+(-1)^k(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k][/tex]
et regarde selon la parité de k ...
Ok! il n'y a pas d'autres méthodes que celle de la formule du binome de Newton?
Si tu réfléchis qques minutes, tu vas t'apercevoir, grâce à la parité sur k, qu'il va te rester des termes dont les puissances sont paires => somme de produits de nombres entiers, ce qui permet de démontrer le résultat.

Non, non, ne remercie pas, nous sommes à ton service !

Salut Fred,
J'ai, en effet, regardé, et il ne reste que de nombres pairs.
Merci!
Valentin

Valentin · 18-02-2010 10:32:39

freddy a écrit :

Bonjour,
en Latex, c'est mieux.
1)Soient m,n>=1 deux entiers. Montrer que:
[tex](\sqrt{m+1}+\sqrt{m})^n \in \N[/tex]
Est-il vrai que: [tex](\sqrt{m+1}-\sqrt{m}) < 1[/tex] ?
2)On note {x}=x-[x] la partie fractionnaire de x réel (par exemple, [tex]\{\frac{5}{2}\}=2[/tex]).
Utiliser les résultats du point 1) pour calculer
[tex]\lim_{n \to \infty} (\sqrt{m+1}+\sqrt{m})^n[/tex] (m>=1 entier)
3)Montrer que, si l'angle T est tel que
[tex] cos(T)+sin(T) \in \Q => (cos(T))^n+(sin(T))^n \in \Q, \forall n \in \N[/tex]
4)Soit [tex]{U_n,\;n \geq 1}[/tex] une suite strictement positive. Montrer que, s'il existe une suite [tex]V_n[/tex] strictement positive et une constante C>0 vérifiant :[tex] \frac{U_nV_n}{U_{n+1}}-V_{n+1}\geq C,\; \forall n \geq 1 [/tex], alors somme(Un) converge (1<=n<infini)

Désolé Fred, la question 4) reste vraie. Si tu as une piste, merci. J'avais pensé à deux suites adjacentes, mais ça colle pas!
Valentin

freddy · 18-02-2010 12:49:11

Salut Valentin,

moi, c'est Freddy !

Fred, c'est le patron du site ! On nous confond, mais à tord : il est nettement plus fort que moi, il trouve très vite les bonnes pistes.

A plus, je regarde ta série ...

freddy · 18-02-2010 20:23:07

Salut,

je tente une piste.

On forme [tex] S_n=U_nV_n,\;n \geq 1[/tex]. Par définition, c'est une suite positive décroissante, et donc convergente, de limite [tex] L \geq 0[/tex].

Par ailleurs, on a :

[tex] \sum_{n=1}^\infty (S_n-S_{n+1})=S_1-L \geq C\times \sum_{n=1}^\infty U_{n+1} >0 [/tex]

Donc on en conclut que la série de terme général [tex]U_n[/tex] est convergente.

L'idée sous jacente est d'utiliser la notion de série télescopique ...

C'est bon ?

Valentin · 22-02-2010 13:22:26

Salut Freddy,
D'après l'énoncé S(n)= U(n)V(n) est strictement décroissante. C'est seulement le produit de deux suites qui est décroissante (et positive), donc convergente. Mais comment démontres -tu que U(n) est décroissante et donc (étant positive) est convergente?

freddy · 22-02-2010 16:39:48

Salut,

je ne fais aucune hypothèse sur la nature de la suite de terme général [tex]U_n[/tex], je déduis simplement que la série de terme général [tex]U_n[/tex], , soit la suite de terme général [tex]W_n=\sum_{1}^n U_p[/tex], est convergente si les conditions de l'énoncé sont respectées.

Par contre, il est clair que la suite de terme général [tex]W_n[/tex] est positive et croissante.

C'est plus clair pour toi ?

Dernière modification par freddy (22-02-2010 16:42:04)

freddy · 22-02-2010 22:43:46

valentin a écrit :

Salut Freddy,
Merci pour le code!
Je suis bloqué sur tout. Au 1), je ne vois pas comment montrer que [tex]{\left(\sqrt{m}+\sqrt{m+1}\right)}^{n}+{\left(\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\right)}^{n}\in N[/tex]

Salut,

en fait, ce résultat est exact si n est pair, et faux sinon.

Pose n = 3 et tu vas trouver [tex]2\times \left(4m+1\right)\sqrt{m+1}[/tex] et c'est encore plus amusant si n = 1 !

Pas très clair, ton sujet.

Salut et reviens quand c'est plus clair dans ton esprit.

freddy · 23-02-2010 05:44:22

freddy a écrit :

A première vue pour la question 1, développe selon la formule du binôme de Newton de la forme :
[tex] \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}[(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k+(-1)^k(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k][/tex]
et regarde selon la parité de k ...

J'ai un peu de temps pour terminer.

On a :

[tex]S_{n,m}= \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}[(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k+(-1)^k(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k] = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k)(1+(-1)^k)[/tex]

[tex]H1 : n = 2p+1,\;S_{n,m}= 2\sqrt{m+1}\times \sum_{k=0}^p \binom{2p+1}{2k}(m+1)^{p-k}m^{k} \notin \N[/tex], sauf si m+1 est un carré.

[tex]H2 : n = 2p,\;S_{n,m}= 2\times \sum_{k=0}^p \binom{2p}{2k}(m+1)^{p-k}m^{k}\in \N[/tex]

Je me pose une question : d'où vient ce sujet ?

Dernière modification par freddy (23-02-2010 08:41:23)

Valentin · 23-02-2010 12:41:51

freddy a écrit :

Salut,
je ne fais aucune hypothèse sur la nature de la suite de terme général [tex]U_n[/tex], je déduis simplement que la série de terme général [tex]U_n[/tex], , soit la suite de terme général [tex]W_n=\sum_{1}^n U_p[/tex], est convergente si les conditions de l'énoncé sont respectées.
Par contre, il est clair que la suite de terme général [tex]W_n[/tex] est positive et croissante.
C'est plus clair pour toi ?

Salut Freddy,
Pour moi, il est plus clair que, d'après l'énoncé, le produit de deux suites U(n)V(n) est strictement décroissante et positive, elle peut converger. Mais, je ne vois pas comment déduire à partir de ce produit que la suite U(n) croissante ou décroissante et converge, et donc la somme de U(n) converge. à moins que j'utilise les inégalités triangulaires! je dois essayer, je doute que ça marche!

Valentin · 23-02-2010 12:47:35

freddy a écrit :

freddy a écrit :
A première vue pour la question 1, développe selon la formule du binôme de Newton de la forme :
[tex] \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}[(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k+(-1)^k(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k][/tex]
et regarde selon la parité de k ...
J'ai un peu de temps pour terminer.
On a :
[tex]S_{n,m}= \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}[(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k+(-1)^k(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k] = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(\sqrt{m+1})^{n-k}(\sqrt{m})^k)(1+(-1)^k)[/tex]
[tex]H1 : n = 2p+1,\;S_{n,m}= 2\sqrt{m+1}\times \sum_{k=0}^p \binom{2p+1}{2k}(m+1)^{p-k}m^{k} \notin \N[/tex], sauf si m+1 est un carré.
[tex]H2 : n = 2p,\;S_{n,m}= 2\times \sum_{k=0}^p \binom{2p}{2k}(m+1)^{p-k}m^{k}\in \N[/tex]
Je me pose une question : d'où vient ce sujet ?

C'est un sujet de L1, il est très drôle!
J'ai utilisé la formule de binôme comme toi. Mais j'ai seulement posé k=2p et 2p+1, c'est nul quand k =2p+1 et quand k=2p la somme est un entier pair. Merci!

freddy · 24-02-2010 12:25:12

Salut Valentin,

as tu conscience que ton sujet et tes réponses n'ont aucun sens ?

Freddy

Valentin · 24-02-2010 13:02:18

freddy a écrit :

Salut Valentin,
as tu conscience que ton sujet et tes réponses n'ont aucun sens ?
Freddy

je ne sais pas trop! mais si mes "réponses n'ont aucun sens", tu peux les donner du sens, c'est pour cela d'ailleurs que je les ai mis en ligne! j'avoue franchement que ce sujet est très bizarre, je ne le capte pas!

freddy · 24-02-2010 13:10:03

Mon cher Valentin,

j'ai bien compris que tu ne captes rien à ton sujet, mais c'est un peu normal, car ton sujet est abscons : on te demande de démontrer des résultats faux !!!

Par exemple, post 20 et 21 je te montre qu'une question est fausse. Je ne sais si tu as bien compris comment je le démontre ...

Auparavant, post 17, je démontre un résultat demandé sur la somme d'une série, et là, c'est toi qui t'acharnes à me démontrer que tu n'as pas bien compris comment je démontre le résultat.

Comprends tu bien ce que j'écris ?

A te lire.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 15-02-2010 09:15:12

problème d'analyse!

#2 15-02-2010 09:46:50

Re : problème d'analyse!

#3 15-02-2010 12:15:29

Re : problème d'analyse!

#4 15-02-2010 13:55:07

Re : problème d'analyse!

#5 15-02-2010 14:36:51

Re : problème d'analyse!

#6 15-02-2010 14:57:38

Re : problème d'analyse!

#7 15-02-2010 16:16:26

Re : problème d'analyse!

#8 15-02-2010 17:13:44

Re : problème d'analyse!

#9 15-02-2010 21:12:43

Re : problème d'analyse!

#10 16-02-2010 09:42:43

Re : problème d'analyse!

#11 16-02-2010 09:58:42

Re : problème d'analyse!

#12 17-02-2010 12:52:14

Re : problème d'analyse!

#13 18-02-2010 10:22:40

Re : problème d'analyse!

#14 18-02-2010 10:32:39

Re : problème d'analyse!

#15 18-02-2010 12:49:11

Re : problème d'analyse!

#16 18-02-2010 20:23:07

Re : problème d'analyse!

#17 22-02-2010 13:22:26

Re : problème d'analyse!

#18 22-02-2010 16:39:48

Re : problème d'analyse!

#19 22-02-2010 22:43:46

Re : problème d'analyse!

#20 23-02-2010 05:44:22

Re : problème d'analyse!

#21 23-02-2010 12:41:51

Re : problème d'analyse!

#22 23-02-2010 12:47:35

Re : problème d'analyse!

#23 24-02-2010 12:25:12

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#24 24-02-2010 13:02:18

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#25 24-02-2010 13:10:03

Re : problème d'analyse!

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