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yacht

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Corps des rationnels

Je n'arrive pas à définir Q[racine troisième de 2]?
Ensuite je dois répondre à cette question : Est ce que Q[racine de 7] et Q[racine troisième de 2] sont isomorphes?

Merci d'avance.

Fred

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Re : Corps des rationnels

Bonjour,

  Il faut commencer par chercher le polynôme minimal de [tex]a=\sqrt[3]{2}[/tex], c'est-à-dire le polynôme à coefficients rationnels de plus bas degré dont il est racine. C'est [tex]P(X)=X^3-2[/tex]. [tex]\mathbb Q[\sqrt[3]{2}][/tex] est donc le corps engendré par a et a² puis P est de degré 3.
On en déduit que [tex]Q[\sqrt[3]{2}][/tex] est l'ensemble des éléments s'écrivant [tex]\lambda+\alpha a+\beta a^2[/tex] avec [tex]\lambda,\alpha,\beta[/tex] des rationnels.

En particulier, [tex]Q[\sqrt[3]{2}][/tex] est un espace vectoriel de dimension 3 sur [tex]Q[/tex] (on dit que c'est une extension de degré 3). Il ne peut pas être isomorphe à [tex]\mathbb Q[\sqrt 7][/tex] qui est un espace vectoriel de dimension 2 sur [tex]\mathbb Q[/tex].

Fred.