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#1 23-12-2009 16:07:49
- zineb
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- Messages : 8
théorie du mesure et de l'intégration
bonjour voila l'énoncé merci d'avance
soient (E,T,u) un espace mesurée et f:---->IR une fonction mesurable pour tout n appartenant à IN si on pose:
[tex]{A}_{n}=({\left|f\right|\geq n}\},et\,\,\,{B}_{n}=({n\leq \left|f\right|\leq n+1}[/tex] }
montrer que :
[tex]\int^{}_{}\left|f\right|du\leq \infty \Longleftrightarrow \sum^{+\infty }_{n=0}n\,u\left({B}_{n}\right)\leq +\infty \Longleftrightarrow \sum^{+\infty }_{n==00}u\left({A}_{n}\right)\leq +\infty [/tex]
c la premiere fois que j'utilise le code latex j'héspére que ca va t étre claire!!!
Dernière modification par zineb (23-12-2009 18:55:02)
Hors ligne
#4 23-12-2009 18:29:21
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : théorie du mesure et de l'intégration
Bonsoir,
Pour la première implication, tu écris que
[tex]\int |f|du=\sum_{n\geq 0}\int_{B_n}|f|du[/tex]
Puis tu minores [tex]\int_{B_n}|f|du[/tex] par la quantité que tu veux.
Pour la deuxième implication, utilise que [tex]u(B_n)=u(A_n)-u(A_{n+1})[/tex]
Pour revenir au départ, je démontrerai d'abord que 2 est équivalent à 3 en utilisant le même type de raisonnement, puis je prouverai que 2 implique 1 en utilisant que
[tex]\sum_{n\geq 0}u(B_n)<+\infty\implies \sum_{n\geq 0}(n+1)u(B_n)<+\infty[/tex],
puis en reprenant la décomposition
[tex]\int |f|du=\sum_{n\geq 0}\int_{B_n}|f|du[/tex]
on conclut parce que
[tex]\int_{B_n}|f|du\leq (n+1)u(B_n)[/tex]
Voila, je n'en dirai pas plus avant quelques jours car je m'absente!
Fred.
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