Forum de mathématiques - Bibm@th.net

alicia_010

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Permutation

Bonjour à tous!!
Je rencontre un souci de compréhension avec mon devoir de maison.
Voici l'énoncé:

On suppose que |G| = 4. On note e; x1; x2; x3 les quatre éléments de G.
Montrer que chaque ligne et chaque colonne de la table de multiplication de G est une permu-
tation des éléments de G.

Voilà ce que j'ai fait:

G    e     x1    x2    x3
e    e     x1    x2    x3
x1   x1   x2    x3    e
x2   x2   x3    e     x1
x3   x3   e     x1    x2

C'est à partir de là que je ne comprends pas trop. On me demande:
Montrer que, à une renumerotation près des éléments de G, il existe seulement deux tables de
multiplications possibles pour ce groupe. Pour chacun des deux cas découverts, trouver un sous groupe S4( 4 en exposant) isomorphe à G

Pouvez vous m'expliquer ce que cela signifie? Que me demande t-il précisément de faire ?
(Surtout la première question où je ne vois pas ce qu'ils veulent dire par renumérotation)
Je vous remercie d'avance. :)

Fred

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Re : Permutation

Bonsoir Alicia,

  L'énoncé est un peu posé bizarrement, voici ce que je crois que l'auteur veut dire.
Dans la table que tu as dressé, tu n'as pas le choix pour la première ligne, puisque e est l'élément neutre.
Tu as en revanche le choix pour la seconde.
En effet, on a : x1*e=x1, forcément, mais ensuite, tu as écrit x1*x1=x2, et cela, rien ne t'y obligeait.
On aurait très bien pu avoir x1*x1=x3, ou x1*x1=e.
Je laisse tomber le cas de x1*x1=x3, car ca va donner la même table que x1*x1=x2, à permutation près de x2 et x3 (correspond à renuméroter x2 en x3).
J'étudie donc le cas x1*x1=e.
Calculons les autres valeurs. On doit avoir x1*x2=x3, car on ne peut pas avoir x1*x1=x2, sinon on aurait deux fois la lettre x2 dans la colonne de x2. Et donc on a aussi x1*x3=x2, seul choix possible pour terminer la ligne.

Pour le moment tu as donc le tableau suivant :

G  e  x1  x2  x3
e  e  x1  x2  x3
x1 x1  e  x3  x2
x2 x2
x3 x3

On en déduit que x2*x1=x3 (pour ne pas avoir deux fois x2 dans la ligne de x2), et que x3*x1=x2.
Soit le tableau

G  e  x1  x2  x3
e  e  x1  x2  x3
x1 x1  e  x3  x2
x2 x2 x3
x3 x3 x2

Reste à compléter le tableau. On peut avoir x2*x2=e ou x2*x2=x1, et on a alors le contraire pour x3*x3.
Là encore, cela ne correspond qu'à une renumérotation entre x2 et x3...

Désolé si mes explications te paraissent un peu confuses, c'est le genre d'exercices pas du tout facile à corriger par écrit...
Remarque par ailleurs que tu n'as pas répondu à la toute première question (chaque ligne et chaque colonne doit être une permutation...). Là, on ne te demande pas d'écrire une table, mais juste de justifier que dans chaque ligne, on ne peut pas avoir deux fois le même élément, et la même chose dans chaque colonne.
Mais si on a xi*xj=xl et xi*xk=xl, alors en multipliant par xi^{-1} à gauche, on trouve xj=xk=xi^{-1}xl.

Reviens nous dire si cela t'avance.

Fred.
PS : tu es dans quelle filière? Pas si commode un exo comme cela sur les groupes...

alicia_010

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Re : Permutation

Si si merci pour votre aide!
Je suis en Ecole d'ingénieur 1ère année
Le premier cas est fait! Je rencontre plus de problème avec le deuxième cas...mais je me concentrerai sur le 2 ème cas un peu plus tard....Merci encore

alicia_010

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Re : Permutation

Désolé! Mais finalement je suis perdue!
Je ne comprends toujours pas la question 1.  Comment pouvons-nous expliquer que si on a xi*xj=xl et xi*xk=xl, alors en multipliant par xi^{-1} à gauche, on trouve xj=xk=xi^{-1}xl. expliquerait le fait de montrer que, à une renumerotation près des éléments de G, qu' il existe seulement deux tables de
multiplications possibles pour ce groupe?

R3VAN

Invité

Re : Permutation

Salut alicia.

tu aurais du mettre tout le sujet pour trouver de l'aide plus rapidement, en effet, la question 7 d'un exo a souvent un rapport avec le reste non?
Mais bon c'est trop tard, maintenant il faut rendre le dm! :P

freddy

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Re : Permutation

Désolé! Mais finalement je suis perdue!
Je ne comprends toujours pas la question 1.  Comment pouvons-nous expliquer que si on a
[tex] x_i\times x_j=x_l \,\,et\,\,  x_i\times x_k=x_l[/tex]  alors en multipliant par xi^{-1} à gauche, on trouve [tex] x_j=x_k=x_i^{-1}\times x_l[/tex]. expliquerait le fait de montrer que, à une renumerotation près des éléments de G, il existe seulement deux tables de
multiplications possibles pour ce groupe ?

Salut,

Fred te donne simplement la preuve que tu ne peux pas avoir dans la table du groupe autre chose qu'une permutation des éléments de G en ligne comme en colonne.

Auparavant, il t'a montré qu'on ne peut avoir que deux tables, car les autres sont simplement obtenues par changement des indices (renumérotation) des éléments de G qui, muni de la loi de composition interne *, est un groupe (tu remarqueras qu'il n'est pas indiqué s'il est commutatif, donc il est important de bien distinguer une composition à droite ou bien à gauche d'un élément par un autre. Par contre, chaque élément admet un symétrique unique pour la loi de composition interne).

En fait, il a fait quasiment tout le travail et te donne les deux seules tables : la première est celle que tu as construite, la seconde est celle qu'il n'a pas fini.

Supposons x2*x2 = e on déduit alors que x3*x3 = e et que x2*x3=x3*x2 = x1.

c'est la seconde table.

Si on choisit x2*x2 = x1 on déduit que x3*x2=x2*x3=e, que x3*x1= x3*x3 =x1 ce qui est impossible (l'élément neutre d'un groupe est unique !)

Enfin, pour la dernière question, chacune des deux tables sont isomorphes à un sous-groupe des permutations d'ordre 4. C'est l'application directe du Théorème de Cayley. Confère :(http://www.bibmath.net/dico/index.php3?.action=affiche&quoi=./c/cayley.html) et
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … rique.html et
(cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Permutation_circulaire)

il suffit de trouve le bon ordre de chacune des deux permutations (tu es dans une école d'ingénieur en informatique, je me trompe).

Bb

PS : je n'aime pas bcp le post de R3VAN, il affleure une méchanceté de mauvais aloi. Copain de promo ?

Dernière modification par freddy (21-12-2009 11:16:09)

alicia_010

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Re : Permutation

Ah OK! je comprends mieux...
J'ai appliqué les deux cas que vous aviez énoncé mais je n'ai pas su répondre à la troisième question. Mais ce n'est pas grave, rien n'est perdu, je saurai pour la prochaine fois...(Eh oui! je ne travaille pas que pour les devoirs notés). Merci beaucoup pour votre aide!

freddy

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Re : Permutation

Hello,

pourrais tu nous indiquer stp ce que signifie [tex]S^4[/tex] dans ton cours ?

S'il faut lire [tex]S_4[/tex] , les liens ci dessus devraient t'aider. Par convention de notation, on a la permutation circulaire  :

[tex]\{e, x_1, x_2, x_3\}[/tex] de ta table, et de celle de Fred, on trouve les deux transpositions :

[tex]\{(e, x_1), (x_2, x_3)\}[/tex], sauf erreur.

A te relire !