Forum de mathématiques - Bibm@th.net

stormin

Membre

Inscription : 03-12-2009

Messages : 124

projection orthogonale

je suis coincé avec cet exercice :
soit F un sous espace vectoriel de E et P une projection sur F
demontrer les enonces suivants:
1-P est une projection orthogonale
2-<Px,Py>=<Px,y> quelque soit x,y appartient à E
3-<Px,y>=<x,Py>  quelque soit x,y appartient à E
et merci

Dernière modification par stormin (13-12-2009 17:42:02)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : projection orthogonale

Bonsoir,

  J'imagine que tu veux prouver que les 3 assertions sont équivalentes :
1=>2)
  Tu  écris x=P(x)+x' avec x' orthogonal à F (c'est une projection orthogonale)
et y=P(y)+y' avec y' orthogonal à F.
Alors <Px,y>=<Px,Py>+<x',Py>=<Px,Py>

2=>3)
  D'après 2, on a <Px,y>=<Px,Py> et aussi <x,Py>=<Py,x>=<Py,Px>=<Px,Py>

3=>1)
  Soit x appartenant à E qu'on écrit x=P(x)+x', où x' est un élement du noyau de P.
Il s'agit de montrer que x' est orthogonal à F. Soit donc y élément de F.
Alors y=P(y), et donc
<x',y>=<x',Py>=<Px',y>=0 car Px'=0.

Fred.

stormin

Membre

Inscription : 03-12-2009

Messages : 124

Re : projection orthogonale

Et si je veux prouver que Img(IdE - P)=orthogonal de Img(P) est equivalent aux assertions précédentes
Merci