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#1 09-12-2009 18:33:26
- fadara
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Explications
Bonsoir,
Je me frotte en ce moment aux exercices du site sur les ensembles
A l'exercice 5, on a définit [tex]A \Delta B = \{x \in A \cup B ; x \notin A \cap B \}[/tex] et on demande de montrer que
[tex]A \Delta B = (A \cap \bar{B}) \cup (B \cap \bar{A})[/tex]
Voilà comment je m'y suis pris
[tex]x \in A \Delta B \Rightarrow x \in A \cup B et x \notin A \cap B[/tex]
[tex]\Rightarrow (x \in A ou x \in B) et (x \notin A ou x \notin B)[/tex]
Là, j'ai posé [tex]P = x \in A et Q = x \in B[/tex]
Ce qui donne
[tex](P \vee Q) \wedge (\urcorner{P} \vee \urcorner{Q}) = (\urcorner{P} \wedge Q) \vee (P \wedge \urcorner{Q})[/tex]
Ce qui au final me donne [tex](x \in B et x \notin A) ou (x \in A et x \notin B)[/tex]
d'où [tex]x \in (A \cap \bar{B}) \cup (B \cap \bar{A})[/tex]
Même chose réciproquement
Je voudrais savoir si cette démonstration est juste
ps : [tex]\bar{A}[/tex] : Complémentaire de A dans E
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#2 09-12-2009 19:03:26
- freddy
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Re : Explications
Bonsoir,
Je me frotte en ce moment aux exercices du site sur les ensembles.A l'exercice 5, on a définit [tex]A \Delta B = \{x \in A \cup B ; x \notin A \cap B \}[/tex]
et on demande de montrer que
[tex]A \Delta B = (A \cap \bar{B}) \cup (B \cap \bar{A})[/tex]Voilà comment je m'y suis pris :
[tex]x \in A \Delta B \Rightarrow x \in A \cup B et x \notin A \cap B[/tex]
[tex]\Rightarrow (x \in A ou x \in B) \,\,et\,\, (x \notin A ou x \notin B)[/tex]
Donc j'en déduis que x n'appartient à aucun des deux ensembles, ce qui me semble faux.
Tu es d'accord avec moi ?
Démarre plutot avec la notion de différence entre deux ensembles pour arriver à la formulation de la différence symétrique, comme :
[tex]A \Delta B = (A \cup B) - (A \cap B)[/tex]
Sinon, la suite du raisonnement me semble correcte (mais est sans lien avec le début).
Bb
Dernière modification par freddy (09-12-2009 19:17:22)
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#4 09-12-2009 19:15:06
- freddy
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Re : Explications
x est élément de la différence symétrique entre A et B si x appartient à la réunion de A et B privée de leurs éléments communs (intersection).
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ffsym.html
Dernière modification par freddy (09-12-2009 19:16:06)
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#5 09-12-2009 19:41:05
- fadara
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Re : Explications
Donc
[tex]X \in A \Delta B \Rightarrow x \in (A - B) \cup (B - A)[/tex]
[tex]\Rightarrow (x \in A et x \notin B) ou (x \in B et x \notin A)[/tex]
[tex]\Rightarrow x \in (A \cap \bar{B}) \cup (B \cap \bar{A})[/tex]
Dernière modification par fadara (09-12-2009 19:42:13)
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#8 09-12-2009 20:26:04
- freddy
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Re : Explications
Oui, volontiers, mais commence d'abord un raisonnement, et je verrai s'il est correct, si tu veux bien !
(...)
"aide toi et le Ciel t'aidera"
Dernière modification par freddy (09-12-2009 20:26:48)
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#9 09-12-2009 20:36:19
- fadara
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Re : Explications
Voilà comment je m'y suis pris
[tex]x \in (A \Delta B) \cap C \Rightarrow x \in A \Delta B et x \in C[/tex]
Si [tex]x \in A \Rightarrow x \notin B et x \in C[/tex]
[tex]\Rightarrow x \in (A \cap C) et x \notin (B \cap C)[/tex]
[tex]\Rightarrow x \in (A \cap C) - (B \cap C)[/tex] (1)
Si [tex]x \in B \Rightarrow x \notin A et x \in C[/tex]
[tex]\Rightarrow x \notin (A \cap C) et x \in (B \cap C)[/tex]
[tex]\Rightarrow x \in (B \cap C) - (A \cap C)[/tex] (2)
De (1) et (2), on a [tex]x \in (A \cap C) \Delta (B \cap C)[/tex]
Dernière modification par fadara (09-12-2009 20:37:11)
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#11 09-12-2009 21:46:24
- fadara
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Re : Explications
Pour l'inclusion dans l'autre sens
[tex]Soit x \in (A \cap C) \Delta (B \cap C)[/tex]
Si [tex]x \in (A \cap C) \Rightarrow x \notin B \cap C[/tex]
[tex]\Rightarrow x \notin B ou x \notin C[/tex]
[tex]\Rightarrow x \notin B car x \in A et x \in C[/tex]
[tex]\Rightarrow x \notin B et x \in A et x \in C[/tex]
[tex]\Rightarrow x \in (A - B) \cap C[/tex] (1)
Si [tex]x \in (B \cap C) \Rightarrow x \notin A \cap C[/tex]
[tex]\Rightarrow x \notin A ou x \notin C[/tex]
[tex]\Rightarrow x \notin A car x \in B et x \in C[/tex]
[tex]\Rightarrow x \notin A et x \in B et x \in C[/tex]
[tex]\Rightarrow x \in (B - A) \cap C[/tex] (2)
(1) et (2) alors [tex]x \in (A \Delta B) \cap C[/tex]
D'où [tex](A \cap C) \Delta (B \cap C) \subset (A \Delta B) \cap C[/tex]
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