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fadara

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Aide sur une démonstration de relation d'équivalence

Bonsoir,
Je suis nouveau sur le forum et j'aimerais que vous me donniez un petit coup de pouce sur ce problème
Soit E [tex]\neq \varnothing[/tex] et [tex]\wp[/tex](E) l'ensemble des parties de E
Soit [tex]\alpha \in \wp[/tex](E) tel que
[tex]X \in \alpha \Rightarrow X \neq \varnothing[/tex]
[tex]\forall X, Y \in \alpha[/tex] [tex]\exists Z \in \alpha : Z \subset (X \cap Y)[/tex]
On considère la relation [tex]\sim[/tex] définie par [tex] A \sim B \Longleftrightarrow \exists X \in \alpha : X \cap A = X \cap B[/tex]
Je dois montrer que cette relation est une relation d'équivalence
Je bloque sur la transitivité
J'ai
[tex]A \sim B \Longleftrightarrow \exists X \in \alpha : X \cap A = X \cap B[/tex]
[tex]B \sim C \Longleftrightarrow \exists Y \in \alpha : Y \cap B = Y \cap C[/tex]
A partir de là, je dois montrer que [tex]A \sim C[/tex] mais je bloque
Un petit coup de main;)
Merci d'avance

PS : Excusez moi pour mon Latex, c'est la première fois que je l'utilise

Dernière modification par fadara (03-12-2009 22:45:38)

Fred

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Re : Aide sur une démonstration de relation d'équivalence

Bonsoir,

  Ton code Latex est parfait!

Pour répondre à ta question, il suffit de se laisser porter (il n'y a qu'un choix naturel d'élément de [tex]\alpha[/tex] qui puisse convenir...) et d'être un peu astucieux :

Soit [tex]Z\in\alpha\textrm{ tel que }Z\subset (X\cap Y)[/tex]
Alors on a successivement
[tex]Z\cap A=Z\cap X\cap A[/tex] (car [tex]Z\subset X[/tex]),
[tex]Z\cap X\cap A=Z\cap X\cap B=Z\cap B[/tex] (toujours car [tex]Z\subset X[/tex])
[tex]Z\cap B=Z\cap Y\cap B[/tex] (car [tex]Z\subset Y[/tex])
[tex]Z\cap Y\cap B=Z\cap Y\cap C=Z\cap C[/tex]
ce qui prouve ce que tu voulais.

Fred.

fadara

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Re : Aide sur une démonstration de relation d'équivalence

Merci beaucoup, donc si je comprends bien
[tex]Z \cap A = Z \cap X \cap A[/tex] est possible car comme [tex]Z \subset X[/tex] alors [tex]Z \cap X = Z[/tex]
De même pour B
Excusez moi mais je reviens encore sur le même exercice
Quelle serait la classe d'équivalence de E ?, de [tex]\varnothing[/tex] ?

Dernière modification par fadara (04-12-2009 00:48:18)

Fred

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Re : Aide sur une démonstration de relation d'équivalence

Merci beaucoup, donc si je comprends bien
[tex]Z \cap A = Z \cap X \cap A[/tex] est possible car comme [tex]Z \subset X[/tex] alors [tex]Z \cap X = Z[/tex]

C'est cela, oui.
Pour la classe d'équivalence de E, une partie A de E est en relation avec E ssi il existe X dans [tex]\alpha[/tex]
tel que [tex]X\cap A=X\cap E=X[/tex], c'est-à-dire [tex]X\subset A[/tex]. La classe d'équivalence de E est donc l'ensemble
des éléments A de [tex]\mathcal P(E)[/tex] tel que [tex]\exists X\in\alpha, X\subset A[/tex].
La classe d'équivalence de [tex]\varnothing[/tex] est l'ensemble des éléments A de [tex]\mathcal P(E)[/tex]
tel que [tex]\exists X\in\alpha, X\cap A=\varnothing[/tex].

Quels étaient les autres questions de ton exercice, parce qu'on n'a pas vraiment utilisé la première condition (les éléments de [tex]\alpha[/tex] sont non vides)?

Fred.

fadara

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Re : Aide sur une démonstration de relation d'équivalence

Merci beaucoup de ton aide Fred, désolé, mais je n'ai pas pu me connecter plus tôt
Les dernières questions demandaient de montrer
[tex]\forall X \in[/tex] à la classe de E, [tex]X \neq \varnothing[/tex]
[tex]\forall X, Y \in[/tex] à la classe de E, [tex]X \cap Y \in[/tex] à la classe de E
[tex]X \in[/tex] à la classe de E, [tex]Y \in[/tex] P(E), [tex]X \subset Y \Rightarrow Y \in[/tex] à la classe de E
Je crois m'en sortir pour ces questions
Merci beaucoup pour l'accueil également sur ce site