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émilie

Invité

séries entières

Bonjour,
j'ai des petits soucis en ce qui concerne la détermination du rayon de convergence de séries entières. Je ne sais pas comment faire à part que le terme général est borné ou non.
pouvez m'aider sur les quelques exemples qui suit.
merci d'avance

série(n!x^(n²))
série( cos (nPi/7)x^n)
série ( (n^n)/n!)x^n)

Fred

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Re : séries entières

Pour étudier la cv d'une série entière, ou bien on étudie si le terme général est borné, ou bien on applique la formule de Hardamard pour le calculer (ce n'est d'ailleurs qu'un moyen commode pour faire la première chose).
Dans les cas qui t'intéressent :
1. On s'intéresse au fait de savoir si le terme général est borné ou non!
Il est clair que si |x|>=1, ce terme général n'est pas borné. Prenons 0<r<1, et étudions si n!r^(n²) est borné.
Remarquons que n!<n^n, et donc n! r^(n²)<exp(n*ln(n)+n^2*ln(r)). Le terme dominant est n^2*ln(r), qui tend vers -infini puisque ln r<0. Le terme général est donc borné si 0<r<1, et non borné si r>=1 : le rayon de convergence est 1.

2.Il est clair que le terme général est borné si |x|<=1. Pour r>1, pour les n de la forme 14k, le terme général
vaut r^(14k), et n'est donc pas borné : le rayon de cv est 0.

3. C'est le bon moment pour appliquer la formule d'Hadamard. En notant u_n=n^n/n!, on a
u_(n+1)/u_n=((n+1)/n)^n, et ceci tend vers e quand n tend vers l'infini (écrire sous forme d'exponentielle).
Ainsi, d'après la formule d'Hadamard, le rayon de convergence est 1/e.

3.

émilie

Invité

Re : séries entières

je ne sais pas ce que c'est que la formule de Hadamard! est ce l'utilisation du critère d'alembert qui nous dit que R= 1/ L avec L = lim (a(n+1)/an) ????
merci d'avance

Fred

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Re : séries entières

Oui, c'est le critère de D'Alembert....