Forum de mathématiques - Bibm@th.net

matan

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isometrie

Bonjour ,

voilà un exo que jai commencé et je bloque sur la dernière question pouvez vous m'aider svp ?

ABC est un triangle. A' est le milieu de [BC]  O le centre du cercle circonscrit à ABC et G son centre de gravité
1. on considère le point H tel que OH=OA+OB+OC ( ce sont des vecteurs)

a montrer que AH = 2 OA'

OH=OA+OB+OC
OH-OA=OB+OC
OH+AO= OA'+A'B+OA'+A'C
AO+OH=2OA'+ A'B+A'C
or A'B +A'C = O car A' milieu de [BC]

donc AH= 2OA'

b. en déduire que H est l'orthocentre de ABC

definition : dans un triangle, les hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle
 
les vecteur Ah et OA' sont colinéaires
les droites (AH) et (OA') sont donc parallèles
or la droite (OA') est la médiatrice de[BC] donc (OA') est orthogonale à (BC)
comme (AH) et (OA') sont parallèles, il en résulte que (AH) est orthogonale (BC)
la droite (AH) est donc la hauteur issue du sommet A dans le triangle ABC

de même pour (BH) et (CH)
donc H est orhtocentre

C. Montrer que OH+3OG

OH = OA+OB+OC
OH = OG+GA + OG+GB + OG+GC
OH = 3 OG + GA +GB+GC
or G est le centre de gravité donc GA+GB+GC=O
donc OH = 3 OG

d. qu'en déduit on à propos de O H et G
OH=3OG signifie que les vecteurs OG et OH sont colinéaires et que les points O, G et H sont alignés

2. A" est le symétrique de H par rapport à A'

a) montrer que AA" = 2 OA"
AH= 2OA'
et HA"= 2A'A" puisque A" est le symétrique de H par rapport à A'
donc
AA"= AH + HA"= 2OA'+2A'A"= 2 ( OA'+A'A") = 2OA"

b) déduisez en que A" appartient au cercle circonscrit à ABC

3. s(bc) désigne la réflexion d'axe (bc) et t HA la translation du vecteur HA

a) montrer que t HA o s(BC) (H1) = A
b) montrer que t HA o s(BC) est une réflexion - quel est son axe ?
c) déduisez que H1 appartient au cercle circonscrit  à ABC
d) montrer que les cercles circonscrits respectivement ABC et HBC sont isométriques

merci de votre aide

yoshi

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Re : isometrie

Bonjour matan,

Et bienvenue sur BibM@th...
3. a) Comment est défini très exactement ton point H1 ? Symétrique de H / (BC) ? Intersection de (AH) et de la parallèle à (BC) passant par A" ?

En attendant, ceci dit : beau travail !
Ce serait encore mieux en utilisant LaTeX. Pour cela 2 solutions :
- Si tu as Java installé sur ta machine, utiliser notre éditeur de formules mathématiques en cliquant sur le bouton Insérer une équation (aide pdf intégrée)
- Ou faire du LaTeX "à la main", en suivant cette doc : Code LaTeX

@+

matan

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Re : isometrie

merci de cette réponse

j'ai vérifié
il s'agit bien de H1 sans aucune indication et ce sont bien les cercles ABC et HBC
J'ai scanné le sujet mais je n'arrive pas à l'intégrer dans la page

à tout de suite

yoshi

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Re : isometrie

Salut,

Pour mettre Une image sur le forum : on encadre l'adresse entre les deux balises img et /img entre crochets.
Quelle adresse ?
Celle que te donne imageshack.us, hiboox, photobucket et autres....
J'ai modifié entre temps ma 1ere réponse.  Je suis peut-être allé un peu vite... Je revois ça !
Cela dit, la non-définition du point H1 est très très gênante...
Sauf si on ne dit pas Montrer que H1 --> A, mais soit H1 tel que H1 --> A...
Parce que  si je ne sais pas où est placé ce point H1 (qui arrive dans l'énoncé comme un cheveu sur la soupe), comment puis-je répondre à la question concernant son image ?...
Sachant que l'image est A et en faisant  [tex][t_{\overrightarrow{HA}}\circ S_{(BC)}]^{-1}(A)[/tex], je trouve ce point H1, ce que confirme la question suivante.

Voilà une possibilité de démo pour le 3. c)
                                                                            S(BC)
Si H1 est le symétrique de H par rapport à (BC) : H -----------> H1
Dans cette même réflexion A' est invariant, donc : [HA'] ---> [H1A']  et HA' = H1A'
Comme on sait que A" a été défini comme symétrique de H par rapport à A' : HA' = HA"/2.
D'après la règle de la médiane le triangle HH1A" est rectangle en H1, donc AH1A" aussi.
Et ce dernier triangle est inscriptible dans le cercle de diamètre [AA"] hypoténuse de AH1A", cercle qui n'est autre que le cercle circonscrit à ABC. Donc H1 est bien sur ce cercle.

Et une 2e possibilité si H1 est défini comme l'intersection de (AH) et de la parallèle à (BC) passant par A".
[tex](AH) \perp (BC)\quad et \quad (A"H_1) \parallel (BC)[/tex] permet de dire que [tex](AH)\perp (A"H_1)[/tex]
Le triangle AH1A" est donc rectangle en H1 et inscriptible... etc

3. a)= Si H1 est le sym de H. Alors [tex]H_1 \xrightarrow{S_{(BC)}}H[/tex] et ce point H donne évidemment A dans la translation considérée...

Mais je suis gêné aux entournures pour les cercles isométriques : O1 n'est pas l'image de O dans la réflexion composée : pas nécessaire, mais je vois pas (pour l'instant) de démonstration de l'égalité des rayons, ne sachant pas comment passer de O à O1...

@+

yoshi

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Re : isometrie

Re,

Une idée.
H1BC et HBC sont des triangles isométriques - puisque l'un image de l'autre par S_(BC) - leurs cercles circonscrits ont donc des rayon égaux.
Et comme le cercle circonscrit à H1BC et le cercle circonscrit à ABC  ont -évidemment- des rayons égaux, par conséquent les cercles circonscrits à HBC et ABC ont des rayons égaux. Ces deux cercles sont isométriques.

@+

matan

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Re : isometrie

Merci beaucoup pour cette aide

bonne soirée
matan

matan

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Re : isometrie

bonjour

toujours pas d'idée pour 3 b
montrer que t HB o s(BC) est une réflexion, quel est son axe ?
merci de votre aide

yoshi

Modo Ferox

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Re : isometrie

Bonjour,

J'ai oublié de renoter la réponse que j'ai effacée...
Soit [tex](\Delta)[/tex] la parallèle à (BC) passant par O : [tex]t_{\overrightarrow{HA}}\circ S_{(BC)} = S_{(\Delta)}[/tex].
Quelle que soit la définition du placement initial de H1 (c'est quand même gênant de ne pas savoir), j'arriverai toujours à prouver que AA"H1 est rectangle en H1.
Deux démonstrations possibles ont été faites précédemment dans la 3. c) qu'on doit reprendre ici et s'arrêter à AH1A" est un triangle rectangle en H1, et enchaîner comme suit
On sait que O est le centre du cercle, donc OA= OA". D'après le théorème de la médiane relative à l'hypoténuse du triangle rectangle, OH1 = OA.
Donc O est sur la médiatrice de [AH1].
Quelle est cette médiatrice ? C'est la parallèle à (BC) passant par O, puisque c'est donc la perpendiculaire à (AH) donc à (AH1), passant par O.
[tex](\Delta)[/tex] étant médiatrice de [H1A], alors [tex]H1 \xrightarrow{S_{(\Delta)}} A[/tex]

Donc pour la 3. c) On sait donc de toutes façons, quelle que soit la position donnée de H1, que le triangle AH1A" est rectangle en H1. Démo faite en 3. b). Inutile de recommencer.
Il suffit d'appliquer le théorème de 4e : tout tr. rect. est inscriptible... etc...
Ou même de dire qu'on a montré que OA = OH1 = rayon...

@+

matan

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Re : isometrie

merci beaucoup pour cette aide

bonne soirée
matan