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#1 20-03-2009 19:26:17
Vecteurs et milieus avec un triangle [Résolu]
bonjour,pouvez vous m'aider sil vous plait je voudrai trouver toute les solution a cet exercice ,il yen a 3
enoncer: triangle ABC I milieu de AB
AJ=2/3 AC
D point d'intersection des points I,J et B,C
prouver que C milieu de BD.
merci d'avance aurevoir
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#2 20-03-2009 19:46:27
- yoshi
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- Messages : 17 385
Re : Vecteurs et milieus avec un triangle [Résolu]
Bonsoir,
1. Ce n'est certainement pas l'énoncé original,
2. Vecteurs ou pas vecteurs ? Si ce n'est pas le cas, quelle est la place du point ?
3. "D point d'intersection des points I,J et B,C" écrit comme ça, ça n'a pas de sens... Un point n'est pas l'intersection d'autres points, mais de droites, demi-droites, segments, courbes, courbe et droite etc...
Donc c'est intersection de (IJ) et (BC) ?
4. Qu'est-ce que signifie "toutes les solutions" ? toutes les démonstrations possibles ?
A vouloir gagner du temps et quelques lettres dans l'écriture, on perd finalement un temps précieux...
A te lire
@+
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#5 21-03-2009 18:19:56
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : Vecteurs et milieus avec un triangle [Résolu]
Bonjour,
Pffff... ca devient une seconde nature le SMS !!!
Depuis le temps qu'on dit et qu'on écrit que c'est proscrit sur les Forums...
Franchement, ça me donne de l'urticaire...
mai jt sur un ordi ki netai pa le mien et jpouvai pas intaller le pluying
Eh, beguise, le plug in c'est une solution de facilité que vous offre Fred, mais on peut s'en passer en écrivant directement en LaTeX : tuto ici : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1943... ;-)
Bon, j'avais anticipé... J'ai trouvé deux méthodes, une via Thalès, l'autre avec une homothétie mais (qui peut aussi se traiter avec Thalès).
La 3e, j'aimerais bien prouver que J est le centre de gravité du triangle ABD ce qui entraînerait que [AC] est une médiane et donc que C milieu. Pour l'instant, je suis en panne ; mais peut-être que cette méthode, même très séduisante, est impossible...
Wait and see...
J'espère que tu as vu les homothéties ?
Pour la 3e méthode, je vais y repenser.
Méthode 1.
Depuis C, je trace la parallèle à (AB) : elle coupe [ID] en E.
Maintenant deux fois Thalès :
- une fois avec le "sablier" IAJCE où le rapport connu est JC/JA = 1/2 ce qui entraînera que EC/AI = 1/2 et comme AI = BI...
- une deuxième fois avec les triangles DEC et DIB
Méthode 2:
Soit E milieu de [BC] -->[tex]\overrightarrow{IE} = {1 \over 2}\overrightarrow{AC} = {* \over *}\,\overrightarrow{JC}[/tex]
Puisque D, J, I et D, C, E alignés dans cet ordre et que (JC) // (IE), il existe une homothétie de centre d et de rapport k (non nul) telle que :
J |--> I et C |--> E.
Le tout est de trouver le rapport k...
Heureusement dans cette homothétie, on a aussi [tex]\overrightarrow{JC} = k.\overrightarrow{IE}[/tex]
Maintenant, k étant connu, on peut avec [tex]\overrightarrow{DC} = k.\overrightarrow{DE}[/tex], et avec E milieu de [BC], on peut arriver à [tex]\overrightarrow{DC} = {1 \over 2}\overrightarrow{DB}[/tex]...
@+
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#7 21-03-2009 19:01:50
- yoshi
- Modo Ferox
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- Messages : 17 385
Re : Vecteurs et milieus avec un triangle [Résolu]
Re,
Oui, c'est bien ce que je t'ai dit que j'aimerais faire mais pour le temps que j'ai cherché, je n'ai rien trouvé de satisfaisant.
Tu devrais proposer ta solution afin qu'on voie si elle est correcte...
On gagnera du temps...
@+
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#8 22-03-2009 13:36:32
- yoshi
- Modo Ferox
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- Messages : 17 385
Re : Vecteurs et milieus avec un triangle [Résolu]
Bonjour,
Une variante de Thalès...
Je reprends :
Soit E milieu de [BC]
Puisque D, J, I et D, C, E alignés dans cet ordre et que (JC) // (IE)
alors d'après le théorème de Thalès :
DJ/DI = DC/DE=JC/IE
IE = 1/2 AC = 1/2 * 3JC= 3/2 JC
Donc JC = 2/3 IE
ET par conséquent DJ = 2/3 DI.
[DJ] est une médiane du triangle ABD et J est placé aux 2/3 de [DI].
J est le centre de gravité du triangle...
[AC] passe par J don [AC] médiane et C milieu de [BD].
@+
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