Arithmetique : Nombres premiers entre eux. [Résolu]

hajmos · 03-12-2008 05:27:59

Bonjour,

- Les nombres (2 puissance 445 ) +7 et 15 sont ils premiers entre eux ?
Réponse :
- 7 est congru à 7 modulo 15
-
- 2 puissance 4 est congru à 1 modulo 15
- 2 puissance 445 = 2*((2 puissance 4) puissance 41)
- (2 puissance 4) puissance 41 est congru 1 modulo 15
- Donc 2 puissance 445 est congru 2*1 modulo 15
- (2 puissance 445 ) + 7 est congru à 2+7 modulo 15
- (2 puissance 445 ) + 7 est congru à 9 modulo 15
- Posons X=2 puissance 445 + 7
- Il existe k appartient à Z tel que :
X-9=15k équivalent X=3(3k+5) ce qui implique que (2 puissance 445 )+7 et 15 ne sont pas premiers entre eux .

Est-ce que c’est correct ?

Et merci.
Hajmos.

yoshi · 03-12-2008 09:39:22

Bonjour,

Ca m'a l'air correct.
Cela dit puisque [tex]2^{445}+7\,\equiv 9\, (mod\, 15)[/tex], alors [tex]\exists\,k\,\in\,\mathbb{N}\,\,;\,\, 2^{445}+7 = 15k+9 = 3(5k+3)[/tex]
Pourquoi as-tu fait un détour par la soustraction ?

D'autre part, puisque [tex]2^4\,\equiv 1\, (mod\, 15)[/tex] et que 445 = 111 * 4 +1, alors comme [tex]2^{444}=(2^4)^{111}\,\equiv 1\, (mod\, 15)[/tex] on a : [tex]2^{445}=(2^4)^{111}\times\,2\,\equiv 2\, (mod\, 15)[/tex]
En conséquence : [tex]2^{445}+7\,\equiv 9\, (mod\, 15)[/tex]

Pour la suite de tes exercices et pour les rendre plus faciles à lire, je me permets d'attirer ton attention sur :

* Le Code LaTex et le tuto que j'ai écrit et auquel tu peux accéder en cliquant sur la mention Code LaTeX,

* Le bouton "Insérer une équation" sur lequel un clic te permet d'accéder à l' "Editeur de formules mathématiques" écrit par Fred, interface graphique entre le Code laTeX et toi destinée à simplifier, faciliter cette écriture de formules mathématiques. Un tuto d'une page au format .pdf est également disponible ici : http://www.bibmath.net/forums/tutoforumeq.pdf et aussi accessible depuis l'Editeur...

@+

hajmos · 03-12-2008 12:41:43

ok

merci

hajmos · 03-12-2008 12:48:37

Salut,
Pourquoi as-tu fait un détour par la soustraction ?
Pour dire que 3 est le diviseur commun des deux termes.

hajmos

yoshi · 03-12-2008 13:02:45

Bonjour,

J'ai écrit, sans passer par la soustraction, que [tex]\exists\,k\,\in\,\mathbb{N}\,\,;\,\, 2^{445}+7 = 15k+9 = 3(5k+3)[/tex] donc que [tex]2^{445}+7[/tex] est un multiple de 3.
Et comme 15 est aussi un multiple de 3, [tex]PGCD( 2^{445}+7;15)\,=\,3[/tex], donc ils ne sont pas premiers entre eux.

Me suis-je servi de la soustraction ?

@+

hajmos · 03-12-2008 15:37:30

Ok

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