Fausse implique fausse est fausse

beagle1 · 21-10-2026 09:39:29

De base j'avais été surpris à l'époque sur maths forum de prof lycée disant j'enlève les ou des points pour du si ... alors ... dans les démonstrations

Donc perso j'avais dit à un moment si A est l'énoncé, D est le truc a démontrer.
Si A alors B
si B alors C,
si C alors D
j'ai démontré ou pas ?

Parce que la démonstration ne vaut que si A est vrai.
ce qui signifie si je ne me suis pas gourré de page et numéro sur l'exo quoi!

Il me semble que ce cas extreme m'avait été accordé bon sur les mathématiques. net sauf erreur.

bref je veux bien écrire du A donc B,
surtout que je suis déscolarisé, ce qui ne m'engage à pas grand chose.

Michel Coste · 21-10-2026 13:49:02

beagle a écrit :

Nous sommes d'accord, mais une difficulté avec le langage commun est que le si A alors B s'entend pour A vrai
alors on refuse l'écriture en démonstration du si A alors B,
qu'il faut remplacer par un
A donc B en rédactionnel

Non. Tu confonds avec obstination le modus ponens (J'ai $A$, j'ai $A\to B$, donc j'ai $B$ -- l'élimination du $\to$ en déduction naturelle) et la démonstration d'une implication par déchargement d'hypothèse ( sous l'hypothèse $A$ j'ai $B$, donc sans l'hypothèse $A$ j'ai $A\to B$ -- l'introduction du $\to$ en déduction naturelle).
En déduction naturelle, les connecteurs logiques (implique $\to$, et $\wedge$, ou $\vee$, non $\neg$) on des règles d'introduction et des règles d'élimination.

Zebulor · 21-10-2026 13:50:30

De retour,

ça devient subtil ...
En lisant les derniers messages, j'ai l'impression qu'une partie de la difficulté vient de ce que je ne distinguais pas spontanément deux situations :

- supposer provisoirement A afin de démontrer A⇒D ;
- ou raisonner à partir d'une hypothèse A déjà admise dans le contexte.

Dans les deux cas, je gardais surtout en tête que le raisonnement restait conditionné par A, ce qui rejoint peut-être le malaise exprimé par Beagle à propos du « si ».

Le message de Michel m'a cependant aidé à comprendre autrement le terme « décharger ». J'avais d'abord tendance à entendre ce mot comme une suppression de l'hypothèse. Or il me semble plutôt que l'hypothèse change de statut : elle cesse d'être une hypothèse ouverte du raisonnement et se retrouve intégrée à la conclusion sous la forme de l'antécédent de l'implication démontrée.

Dans l'exemple A: $x=2$ et B: $x^2=4$ on suppose A, on établit B, puis on conclut A⇒B. L'hypothèse A n'a donc pas disparu ; elle n'intervient simplement plus de la même manière.

Du coup, je me demande si une partie de l'inconfort que certains d'entre nous ont pu ressentir ne vient pas précisément de cette transition : intuitivement, on continue à voir le « si » à l'arrière-plan du raisonnement, alors que la logique formelle distingue soigneusement le moment où l'hypothèse est ouverte du moment où elle a été déchargée.

Dernière modification par Zebulor (21-10-2026 13:54:18)

beagle1 · 21-10-2026 14:14:30

Michel : "Tu confonds avec obstination le modus ponens (J'ai ?, j'ai ? →?, donc j'ai ? -- l'élimination du → en déduction naturelle) et la démonstration d'une implication par déchargement d'hypothèse "

avec obstination je ne crois pas puisque c'est la première fois et nous avons débattu des heures et des heures déjà,
que tu me le fais en modus ponens et implication par déchargement d'hypothèse.

Donc pour rappel Michel mon niveau de maths est celui d'un bon collège et mauvais lycéen actuellement.
Et le sujet de ce fil étant une introduction de la logique pour des élèves en seconde je devrais en principe comprendre .

Dernière modification par beagle1 (21-10-2026 14:15:17)

Michel Coste · 21-10-2026 14:22:16

Une référence : Déduction naturelle

Zebulor · 21-10-2026 14:32:24

je n ai pas vu la réponse de Michel postée une minute avant moi, alors pour le moment je ne veux pas interrompre ce qui me semble être une interpellation de beagle à Michel ..

beagle1 · 21-10-2026 14:51:41

Salut Zebulor , non le mieux est que tu commentes ce que dis Michel puisque dit avec d'autres mots j'ai plus de chances de comprendre.

Déjà tes premieres interventions m'ont rassuré car en général en face à face avec Michel c'est toujours ...difficile on dira.

Zebulor · 21-10-2026 17:30:54

Salut beagle,
Je ne suis pas certain que la difficulté soit vraiment une question de niveau en mathématiques comme tu l'écris. J'ai plutôt l'impression qu'on touche ici à des questions de logique et même de philosophie du raisonnement. A lire Michel "supposons A" lui semble partie de la démarche de démonstration, tandis que "si A alors B" est le résultat obtenu à la fin de cette démarche.

beagle1 · 21-10-2026 17:47:34

Si c'est un problème de niveau puisque je ne connais rien, ne comprend rien de la ref que Michel a balancé.

Vu de loin,
on dirait que : il y a l'utilisation de l'implication dans les démonstrations et qs le cinoche du A vrai,
séquentiel comme je disais temporel et spatial

et ce qu'est l'implication comme objet unique ( si A alors B) et où s'exprime la force du non A ou B,
comme c'est le tout, ben on a une méthode globale instantanée qui permet de jouer avec.

Reste l'interrogation que je faisais, et je te remercie de l'avoir reprise car Michel s'en contretape,
le si A alors B
avant d'ètre un objet mathématique il existe déjà
comme objet mathématique il est rencontré dans les démonstrations

et ceci préexiste l'enseignement du (si A alors B) de l'enseignement de la logique

et donc comment on articule tout cela lors de l'enseignement, c'est le boulot des profs,
et c'est cela qui m'intéresse, si certains veulent s'exprimer sur le sujet. Mais sinon pas grave.

Michel Coste · 21-10-2026 21:40:44

Beagle, je ne comprends pas ce que tu écris ni où tu veux aller. Est-ce un problème de niveau ?

Analyser l'assertion "Pour tout réel $x$, si $x^2<4$ alors $x<2$". Elle est vraie, d'accord ?

beagle1 · 22-10-2026 10:05:49

Bonjour Michel,

tu as raison les soucis sont plus dans le modus ponens.

Maintenant je te pose une question différente, peut-on dire les x de A sont des x de B,
et faire l' assertion que tu proposes, en inclusion d'ensembles
ce qui quelque part me rappelerait ta très belle solution de l'exo que j'avais proposé sur les cartes,
où tu avais tout fait en inclusions qui s'emboitaient.

C'est une autre question, elle se rapproche un peu tout de meme de mes questionnements,
puisque l'asymétrie de l'implication est retrouvée (je sais que tu ne l'as jamais perdu toi, tout est bien rangé chez toi).

tu peux en dire plus sur ça?

Dernière modification par beagle1 (22-10-2026 10:06:36)

Michel Coste · 22-10-2026 10:53:21

Oui bien sûr, la formule $\forall x \in \mathbb R\ (A(x) \to B(x))$ veut dire $\{x\in \mathbb R\mid A(x)\}\subset \{x\in \mathbb R\mid B(x)\}$. Avec les $A$ et $B$ de l'exemple ci-dessus, $\left]-2,2\right[ \subset \left] -\infty,2\right[$. Le fait qu'il y ait des réels qui ne sont ni dans l'ensemble de gauche ni dans celui de droite ne contredit pas l'inclusion ( "faux implique faux" est vrai) ; le fait qu'il y ait des réels qui ne sont pas dans l'ensemble de gauche mais qui sont dans celui de droite ne contredit pas non plus l'inclusion ("faux implique vrai" est vrai)

beagle1 · 22-10-2026 11:12:07

ah, mais c'est super ça, merci Michel.

Alors petit résumé personnel et je laisse un peu le fil que j'ai quelque part accaparé .

l'implication, le si A alors B,
comme non A ou B
c'est très fort comme dans l'exo sur les cartes que Michel a proposé depuis le début du fil.
J'adore.

Je suis ennuyé avec l'implication dans les rédactions de démonstrations, mais je peux m'y faire, je peux comprendre les exigences.
qs le modus ponens

L'implication sous forme ensembliste avec l'inclusion me plait beaucoup,
je retrouve mieux l'asymétrie dont j'ai besoin. (je sais plus où j' habite qu'avec (nonA ou B) où certes je vois bien d'où il vient)

merci pour votre patience.

Ce serait sympa d'avoir les retours de Mahm-prof, de ce qu'elle en a retiré pour ses présentations aux élèves.

Dernière modification par beagle1 (22-10-2026 11:13:32)

Zebulor · 22-10-2026 22:00:45

Hello beagle,
(non A ou B) , auquel je préfère une lecture plus dynamique : non (A et non B)

Michel Coste · 22-10-2026 22:40:19

Juste pour le fun, en logique intuitionniste $\neg A \vee B$ n'est pas équivalent à $A\to B$. Il entraîne $A\to B$, mais on n'a pas la réciproque : $A\to A$ est bien sûr vrai intuitionnistement, par contre un intuitionniste n'admet pas le tiers exclus $\neg A\vee A$. Peut être ceci explique-t-il pourquoi le $\neg A \vee B$ a du mal à passer comme signifiant $A\to B$ chez certains (des intuitionnistes qui s'ignorent ?).

Zebulor · 23-10-2026 05:18:55

Mais alors toujours pour le fun, l'interprétation ensembliste A ⊂ B correspond elle davantage à l'esprit intuitionniste de l'implication que l'écriture $\neg A \vee B$, ou bien cette idée est elle une projection de mon imaginaire ?

Michel Coste · 23-10-2026 08:59:12

@Zebulor : je suis un un gêné pour te répondre, parce ça nécessite un distinguo un peu délicat. Prenons les choses d'un point de vue ensembliste : $A\subset B$ est une relation entre deux parties., tandis que $\overline A \cup B$ est une nouvelle partie fabriquée à partir des parties $A$ et $B$. Quelle serait alors la partie qui correspondrait à $A\to B$ ? Réponse : la plus grande partie dont l'intersection avec $A$ est contenue dans $B$, autrement dit on demande que $C\subset A\to B$ soit équivalent à $ C\cap A \subset B$. Tu me répondras "Ben oui, cette plus grande partie c'est $\overline A \cup B$" et tu auras raison ensemblistement et classiquement.
Mais du point de vue intuitionniste, les choses se passent différemment ; une façon de voir ce qui se passe alors est de travailler non plus avec toutes les parties d'un ensemble, mais seulement avec les ouverts d'un espace topologique, disons les ouverts de $\mathbb R$. Prenons $A$ et $B$ tous deux égaux à $\mathbb R\setminus \{0\}=\left] -\infty,0\right[ \cup \left ]0,+\infty\right[$. Alors $A\to B= \mathbb R$, en effet $A$ intersecté avec $\mathbb R$ est bien contenu dans $B$. Mais qu'est-ce que l'ouvert $\neg A\cup B$ ? L'ouvert $\neg A$ n'est pas le complémentaire de $A$ (le singleton $\{0\}$, qui n'est pas ouvert), mais l'intérieur de ce complémentaire, c.-à-d. le plus grand ouvert de $\mathbb R$ disjoint de $A$, et l'intérieur du singleton $\{0\}$ est l'ensemble vide. Donc $\neg A\cup B=\emptyset \cup B=\mathbb R\setminus \{0\}$, strictement inclus dans $\mathbb R = A\to B$ : $\neg A\cup B \subsetneq A\to B$.
J'ai bien peur d'avoir perdu tout le monde. ;)

Dernière modification par Michel Coste (23-10-2026 10:01:45)

Zebulor · 23-10-2026 11:21:35

De retour,
@Michel : sans vouloir en venir au fond pour le moment, merci pour cette réponse très détaillée. Au-delà des aspects techniques, je ne peux qu'apprécier le temps et l'attention que tu as consacrés à éclairer ma question à cette heure matinale.
Autre chose : il me semble que ce post ouvre des perspectives dont on ignore souvent l'existence et qui fait entrevoir des liens entre plusieurs domaines qu'on ne soupçonnait pas forcément.
Enfin, une réflexion me vient à propos du verbe « décharger ». Si un étudiant bute sur ce mot, est-ce seulement une question de vocabulaire, ou cela révèle-t-il quelque chose de plus profond dans sa compréhension d'une démonstration ?

Dernière modification par Zebulor (24-10-2026 13:03:52)

beagle1 · 25-10-2026 19:37:45

Bonsoir Zebulor,
comme tu n'as pas reçu de réponse, je veux bien faire l'étudiant.
C'est ok puisque j'ai découvert décharger l'hypothèse il ya quelques jours dans ce fil de discussion.
Bien sur jamais vu jamais entendu cela ne m'a rien évoqué.
Comme tu as relancé ce terme j'ai demandé à l'IA ce que c'était.
Comme cela fait écho je trouve à quelques interrogations de ma part sur l'implication,
voilà ce que cela m'évoque.

L'implication des logiciens n'est pas (ou tellement plus) le classique si A alors B du langage commun, tout comme ce n'est pas l'implication de mon éducation maths de collège lycée qui parle d'un si j'ai A alors j'ai B. De sorte que à la question du A faux dans l'implication, ben c'est tout simplement si j'ai A faux, si est vrai. Et ce n'est pas ce séquentiel directionnel A vers B.

Comme dit précédemment l'implication des logiciens est un global (si A alors B), c'est cela l'objet implication,
et c'est comme une boite.
Donc la démonstration de l'implication charge l'hypothèse, elle met l'hypothèse sur la table, elle va alors jusque B.
Mais l'implication n'est pas ce cheminement c'est la boite.
Donc on décharge l'hypothèse en disant maintenant j'ai ce bloc (si A alors B).
il s'agit de refermer la boite.

beaucoup de formalisme, mais si le formalisme a un support explicatif il devrait etre accepté.

Alors on revient aussi à ce global que l'on perçoit dans le (nonA ou B) qui me choquait un peu puisque pas habitué à l'implication mais plus a son usage. Ce non A ou B qui me convient bien, meme si ma préférence va à l'ensembliste inclusion.En effet une inclusion est tout a la fois un tout immédiat , c'est visible d'un bloc, et cela reste asymétrique donc directionnel puisque A est B.

C'est y mieux, j'avance?

beagle1 · 25-10-2026 19:42:58

je ne comprends rien au fonctionnement du forum, il me dit que je ne peux pas utiliser mon pseudo qui est déjà pris???
et avec beagle 1 je n'arrive pas à corriger le message comme A est dans B à la fin

DeGeer · 25-10-2026 21:10:02

Je vois deux limites à l'analogie ensembliste :
Premièrement, elle repose sur la notion d'ensemble et le symbole d'appartenance. Or, on peut faire des maths sans théorie des ensembles, par exemple l'arithmétique de Peano ou la géométrie d'Euclide-Hilbert.
Deuxièmement, la théorie des ensemble elle-même repose sur des présupposés logiques, parmi lesquels une définition de l'implication. Ainsi, tenter de définir l'implication avec l'inclusion ensembliste, c'est faire un raisonnement circulaire.
Après, si le but est de résoudre des exercices où l'implication se traduit naturellement en termes ensemblistes, il n'y a pas de problème.

DeGeer · 25-10-2026 21:11:44

beagle1 a écrit :

je ne comprends rien au fonctionnement du forum, il me dit que je ne peux pas utiliser mon pseudo qui est déjà pris???
et avec beagle 1 je n'arrive pas à corriger le message comme A est dans B à la fin

Je ne sais pas si le problème vient de là, mais tu as posté tes deux derniers messages en tant qu'invité. Il faut d'abord te connecter pour pouvoir accéder à toutes les fonctionnalités du forum (comme par exemple éditer tes messages).

Michel Coste · Hier 08:40:00

DeGeer a écrit :

Je vois deux limites à l'analogie ensembliste :
Premièrement, elle repose sur la notion d'ensemble et le symbole d'appartenance. Or, on peut faire des maths sans théorie des ensembles, par exemple l'arithmétique de Peano ou la géométrie d'Euclide-Hilbert.
Deuxièmement, la théorie des ensemble elle-même repose sur des présupposés logiques, parmi lesquels une définition de l'implication. Ainsi, tenter de définir l'implication avec l'inclusion ensembliste, c'est faire un raisonnement circulaire.

On parle ici de théorie naïve des ensembles, pas de Zermelo-Frankel. Et plus spécifiquement de l'algèbre de Boole des parties d'un ensemble, qui ne mobilise pas plus de présupposés logiques que l'arithmétique de Peano ou la géométrie d'Euclide-Hilbert.

Michel Coste · Hier 08:58:32

beagle1 a écrit :

L'implication des logiciens n'est pas (ou tellement plus) le classique si A alors B du langage commun, tout comme ce n'est pas l'implication de mon éducation maths de collège lycée qui parle d'un si j'ai A alors j'ai B.

Pourquoi répéter encore et encore cette affirmation dépourvue de sens ?
Que fait-on dans l'enseignement secondaire ?
- On se donne un triangle $ABC$ dont on suppose que l'angle en $A$ en droit. Par un raisonnement plus ou moins astucieux utilisant cette hypothèse, on en déduit que $BC^2=AB^2+AC^2$. On a démontré le théorème de Pythagore, l'implication "Si $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^2=AB^2+AC^2$". Un déchargement d'hypothèse pour la démonstration de cette implication.
- Dans une situation géométrique, (par exemple $A$ sur le cercle de diamètre $BC$) on a que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On a aussi dans notre stock de résultats démontrés le théorème de Pythagore, l'implication donnée ci-dessus. On conclut que $BC^2=AB^2+AC^2$. Un modus ponens pour la démonstration de cette égalité.
En quoi l'implication du secondaire est-elle différente de celle des logiciens ?

yoshi · Hier 10:31:12

Bonjour,

@Beagle
1. De Geer a raison n: un Invité n'a (n'avait ? Je ne sais pas ce que cela va devenir avec la dernière version du moteur du forum + nouveau php) pas pas les droits complets comme un membre à part entière...
2. De plus lors de ton inscription sur Bibmath le 23/10/2026, tu t'es créé 2 comptes de membre :
- l'un sous le pseudo de Beagle
- l'autre sous le pseudo de Beagle1.
Les 2 sont en enregistrés via la même boîte mail...
Mais Beagle1 et Beagle, aux "yeux" du moteur du forum sont deux personnes différentes. Mais membre ou pas, il n'est pas possible à B d'intervenir dans un message de B1 et réciproquement...
Il n'y a que deux personnes ici qui le peuvent : Fred : l'Administrateur et créateur du forum et moi-même comme modérateur, mais je ne peux pas toucher au fonctionnement (technique) du forum et c'est heureux (cf le thème de l'apprenti sorcier)...
Posséder deux comptes est incorrect...

Moi, Modérateur, je ne dispose que d'un seul compte et lorsque j'interviens pour Modérer le forum, je le signale expressément dans le corps du message où à la fin
Il faudra régulariser la situation en ne conservant qu'un seul compte soit B, soit B1 et il faudra t'adresser à Fred en lui spécifiant lequel tu veux supprimer ou conserver...

Cordialement,

Yoshi
- Modérateur -

Dernière modification par yoshi (Hier 10:32:22)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#26 21-10-2026 09:39:29

Re : Fausse implique fausse est fausse

#27 21-10-2026 13:49:02

Re : Fausse implique fausse est fausse

#28 21-10-2026 13:50:30

Re : Fausse implique fausse est fausse

#29 21-10-2026 14:14:30

Re : Fausse implique fausse est fausse

#30 21-10-2026 14:22:16

Re : Fausse implique fausse est fausse

#31 21-10-2026 14:32:24

Re : Fausse implique fausse est fausse

#32 21-10-2026 14:51:41

Re : Fausse implique fausse est fausse

#33 21-10-2026 17:30:54

Re : Fausse implique fausse est fausse

#34 21-10-2026 17:47:34

Re : Fausse implique fausse est fausse

#35 21-10-2026 21:40:44

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#36 22-10-2026 10:05:49

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#37 22-10-2026 10:53:21

Re : Fausse implique fausse est fausse

#38 22-10-2026 11:12:07

Re : Fausse implique fausse est fausse

#39 22-10-2026 22:00:45

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#40 22-10-2026 22:40:19

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#41 23-10-2026 05:18:55

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#42 23-10-2026 08:59:12

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#43 23-10-2026 11:21:35

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#44 25-10-2026 19:37:45

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#46 25-10-2026 21:10:02

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#48 Hier 08:40:00

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#49 Hier 08:58:32

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#50 Hier 10:31:12

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