Fausse implique fausse est fausse

Mahm-prof · 15-10-2026 01:46:27

Comment expliquer à mes élèves qu'une implication A implique B tel que A fausse et B fausse est fausse ??
Pourquoi fausse donne fausse est fausse ???

Merci beaucoup .

Michel Coste · 15-10-2026 08:41:21

Bonjour,
Tu te trompes : "Si faux, alors faux" est vrai.
Un petit exercice classique qui fait réfléchir : On a quatre cartes, sur chacune de ces cartes il y a d'un côté une lettre et de l'autre un nombre. Ces cartes sont posées sur la table, de sorte qu'on n'en voit qu'un seul côté. On voit un E, un N, un 4 et un 7. Combien de cartes faut-il retourner pour vérifier que l'assertion "S'il y a un nombre pair d'un côté, alors il y a une voyelle de l'autre" est vraie pour toutes ces cartes ?

DeGeer · 15-10-2026 09:07:39

Bonjour
Par définition $A \Rightarrow B$ signifie $\neg A \vee B$ (non $A$ ou $B$), qui est fausse si $A$ est vraie et $B$ est fausse, et vraie dans tous les autre cas (notamment, dès lors que $A$ est fausse).

Dernière modification par DeGeer (15-10-2026 09:08:22)

Mahm-prof · 15-10-2026 16:14:39

Michel Coste a écrit :

Bonjour,
Tu te trompes : "Si faux, alors faux" est vrai.
Un petit exercice classique qui fait réfléchir : On a quatre cartes, sur chacune de ces cartes il y a d'un côté une lettre et de l'autre un nombre. Ces cartes sont posées sur la table, de sorte qu'on n'en voit qu'un seul côté. On voit un E, un N, un 4 et un 7. Combien de cartes faut-il retourner pour vérifier que l'assertion "S'il y a un nombre pair d'un côté, alors il y a une voyelle de l'autre" est vraie pour toutes ces cartes ?

Bonjour Michel Coste , Pardon , désolée pour la p'tite erreur,,
Mais une petite remarque, je peux pas donner cet exemple à mes élèves car il apparaît comme un exemple compliqué, en plus , ils sont juste en première année de lycée,,,
Existe t'il s'il vous plaît, un exemple clair et simple pour comprendre ça ??

Merci.

bridgslam · 15-10-2026 16:26:56

Bonjour,

A: "il pleut", B: "je sors avec mon parapluie".

Pour une personne normale ( ou qui n'aime pas être mouillée) A implique B.
La véracité de A ne joue alors pas.

verdurin · 15-10-2026 20:09:16

Bonsoir,
il y a une maxime latine : « ex falso quodlibet. » Ce n'est donc pas une nouveauté de dire que d'une proposition fausse on peut déduire n'importe quoi.

Un exemple classique :
Si 2+2=3 alors je suis le Pape.

Démonstration.
Si 2+2=3 alors 2=1 en effet on a 2+2=2+1 et on enlève 2 de chaque côté.
Le Pape et moi sommes 2 personnes, comme 2=1 le Pape et moi sommes une personne : je suis le Pape.

Michel Coste · 15-10-2026 22:11:39

Mahm-prof a écrit :

[
Mais une petite remarque, je peux pas donner cet exemple à mes élèves car il apparaît comme un exemple compliqué, en plus , ils sont juste en première année de lycée,,,

Deux remarques :
1°) Si tu juges les lycéennes et lycéens de seconde pas assez matures pour le petit exercice de bon sens que je propose, pourquoi leur parler de "faux implique faux" ? Quelle motivation ?
2°) Je pense que ce petit exercice pourrait au contraire être assez éclairant : le seul cas invalidant l'assertion "S'il y a un nombre pair d'un côté, alors il y a une voyelle de l'autre" est celui ou une carte a un nombre pair d'un côté et une consonne de l'autre. Le nombre de cartes à retourner est donc ...
L'exercice proposé présente l'avantage de ne pas trimbaler de notion de causalité (contrairement à l'histoire de la pluie et du parapluie), qui est un parasite quand on parle d'implication au sens mathématique.

DeGeer · 17-10-2026 08:31:25

Oui, l'exemple classique avec le parapluie est problématique en raison de la confusion entre implication et causalité. Quitte à prendre un exemple similaire, autant citer la réciproque : si je sors mon parapluie, alors il pleut.
Et pour en finir avec cette confusion, on peut proposer en exercice de montrer que $(A \Rightarrow B) \vee (B \Rightarrow A)$ est une tautologie.

bridgslam · 17-10-2026 12:19:42

Bonjour,

Loin de moi l'idée de causalité avec mon exemple liminaire, bien-sûr.
Par ailleurs l'idée même de causalité sort du cadre mathématique logique, et prend sa source selon la sémantique que l'on attribue aux propositions et de l'interprétation humaine que l'on y associe.
Attribuer un caractère non mathématique pour juger d'un objet sous son angle purement mathématique, phénomène parasite ou pas? C'est en tous cas, à mon sens, très douteux.
Il y a quand-même, à mon sens, toute une chaîne de pensée ( humaine) pour y introduire la causalité.
Par exemple , pluie , c'est de l'eau, ça mouille, le parapluie est fait de matière imperméable, qui bloque l'eau, le parapluie mouillé est sans importance etc.
Je doute fort qu'un martien muni d'un télescope, ne connaissant rien à la pluie ni aux parapluies, constatant juste que quand il observe l'un des phénomènes l'autre est toujours présent, établisse un quelconque lien de causalité sur terre entre les deux.
Par contre il y aura bien une implication vraie ( si la logique est la même chez lui).

Michel Coste · 17-10-2026 13:51:56

Et "si je ne sors pas avec mon parapluie, alors il ne pleut pas", c'est bien équivalent à "S'il pleut, alors je sors avec mon parapluie", n'est-ce pas ? ;)

Zebulor · 18-10-2026 15:45:21

Bonjour,

donc si j'affirme sérieusement :

« S'il pleut, je prends mon parapluie », je dois également accepter :

« Si je n'ai pas pris mon parapluie, c'est qu'il ne pleut pas ». Pourtant, c'est souvent à ce moment-là que mon intuition commence à protester...

Et c'est sans doute là que le logicien sourit : les deux énoncés sont pourtant équivalents puisque le second n'est autre que la contraposée du premier.

Et quand je pense à la canicule de cet été, je me dis que je peux aussi prendre mon parapluie en pleine canicule pour me protéger du soleil. Cela montre bien que « S'il pleut, je prends mon parapluie » n'implique pas que la pluie soit l'unique raison de prendre un parapluie. En logique, l'implication n'exprime pas l'exclusivité.

Dernière modification par Zebulor (18-10-2026 15:47:20)

bridgslam · 18-10-2026 22:43:16

Bonsoir,

Après l'exemple caricatural de la pluie et du parapluie, on discerne en effet aussi le flou sémantique lié aux propositions, à savoir par exemple ici la chronologie non explicitée assez complètement afin que l'implication soit vraie... et logique euh... causalement.
Dire: "je prends toujours mon parapluie si, au moment de choisir si je le prends ou pas, il pleut et qu'il me semble que ça ne s'arrêtera pas au moment où je sortirai..." est certainement plus précis mais plus lourd.
Sans ces précisions la vie serait belle: il suffirait de ne jamais prendre de parapluie ... pour qu'il ne pleuve pas !
La contraposée brutale ( et fausse sauf erreur sauf pour les maniaques du parapluie ou autres- voir infra) de ce monde idéal étant "quand il pleut j'ai pris mon parapluie en quittant mon logis", la juxtaposition des temps du présent et du passé composé dans la même phrase incite d'ailleurs à penser à une arnaque ...
A noter que JP Marielle est un contre-exemple manifeste dans le film " les galettes de Pont-Aven" : quand il se rend en Bretagne (il y pleut souvent !), il est toujours muni , non pas d'un parapluie, mais ... d'une cinquantaine... ceux qui ont vu le film comprendront...

Dernière modification par bridgslam (18-10-2026 23:11:35)

Zebulor · 19-10-2026 06:21:02

Bonjour,

Je retiens surtout qu'entre le langage courant et la logique formelle, il tombe parfois autant de pièges que de gouttes de pluie...

Quant au parapluie, l'exemple semble en effet dangereux : à en croire la logique du quotidien, il suffirait de ne jamais en prendre pour garantir le beau temps !

Et puis, comme l'a démontré Jean-Pierre Marielle dans Les Galettes de Pont-Aven, certains cas pathologiques nécessitent non pas une contraposée, mais une cinquantaine de parapluies...

Je crois que la difficulté vient surtout du fait que nous lisons spontanément une causalité là où le logicien ne voit qu'une implication... tandis que Jean-Pierre Marielle, lui, y voyait manifestement un problème logistique.

Dernière modification par Zebulor (19-10-2026 06:28:08)

beagle1 · 19-10-2026 08:24:21

Quelques mots en passant.
D'abord le langage commun et le raisonnement commun du: si A alors B
parle de ceci:
si j'ai A alors j'ai B
ou quand A , lorsque A etc...
Donc le langage commun, le raisonnement commun utilise l'implication en prenant A est vrai puisqu'on l'a .
Et cela ne fait faire aucune faute de raisonnement.

Ensuite, le si A lors B des logiciens est une méthode globale , le nonA ou B est statique, instantané.

Et ceci fait perdre le directionnel du si A alors B.
Un directionnel spatiotemporel qui n'est pas à négliger.
Temporel, on prend A en premier.
Spatial se voit dans la vision ensembliste de l'inclusion des A dans les B par exemple.

Ma question aux professeurs devient alors: vous allez initier ldes élèves de seconde à l'implication avec A faux, et je trouve l'exercice de Michel excellent,
mais quid des autres élements de l'implication qui sont ceux que j'ai reçu de mon enseignement il y a longtemps.
Enseignement où je dirai c'est peut etre énorme et faux, je n'ai jamais reçu d'enseignement direct et théorique a base de définition de l'implication, l'usage qui était fait de l'implication venait de la pratique. Peut etre cela commençait en écriture par les théorèmes genre Pythagore.

Dernière modification par beagle1 (19-10-2026 08:25:46)

DeGeer · 19-10-2026 09:49:54

Les mathématiques telles qu'elles sont enseignées reposent implicitement sur la logique propositionnelle classique et la logique des prédicats du premier ordre. Dans ce cadre, l'implication est celle qui a été décrite ici. Si on travaille dans un autre cadre, il faut expliciter ce cadre.

beagle1 · 19-10-2026 10:44:48

Certes mais le si A alors B préexiste a votre présentation, et celui du langage commun n'est pas une chose différente qu'il faudrait séparer les deux, votre enseignement vient enrichir l'existant. Il y a donc bien à en tenir compte quelque part, non?

Par exemple le symbole est bien comme une flèche directionnelle, et l'équivalence est bien avoir la flèche dans un sens et la flèche dans l'autre sens, et lorsque l'on dira ce n'est pas équivalent c'est bien que la flèche dans un des sens ne fonctionne pas.

bridgslam · 19-10-2026 12:37:46

Bonjour,

L'exemple cinématographique du représentant en parapluie était là pour annihiler toute causalité, malgré une implication logique vraie ( dans son cas).
Il est muni de parapluie, quand il pleut, pour une raison sans aucun rapport avec la pluie, mais lié au commerce de cet ustensile.

beagle1 · 19-10-2026 12:57:06

mais dans l'exemple de Michel, personne ne dit que c'est à cause de voyelle que nombre paire ou l'inverse.
Le sens commun comprend très bien que si toutes les cartes sont si nombre pair alors voyelle,
ben c'est ainsi, une corrélation si on veut,
dont on sait que ce n'est pas causalité.
Il n'est pas nécessaire d'avoir la méthode globale non A ou B pour enlever la causalité .

Pour parapluie ce sont les quantificateurs qui doivent protéger.
et si il existe un usage du parapluie qui serait de protéger du soleil alors cela fout en l'air le si parapluie alors il pleut.
je ne comprends pas le problème

Zebulor · 19-10-2026 13:49:57

De retour,

Je me demande si la difficulté n'est pas moins d'apprendre la définition de l'implication que de comprendre pourquoi certaines de ses conséquences s'écartent de notre intuition initiale du « si... alors... ».

À cet égard, je trouve intéressante la formule de beagle : « votre enseignement vient enrichir l'existant ».

Michel Coste · 20-10-2026 13:22:12

Bonjour,
Je voulais envoyer un message avec un contenu mathématique, mais le forum le prend pour du spam !!!

yoshi · 20-10-2026 16:05:06

Cher Michel,

Et oui, te voilà aux prises avec notre antispam maison, c'est pas moi qui l'ai inventé, mais c'est moi qui ai donné de quoi le nourrir...
Nous étions alors avec des spams vantant les mérites de médocs réels et ou contrefaits, écrits en anglais...
J'ai réfléchi et donné à Fred un peu de "substantifique moelle" et qui l'a fait avaler à l'antispam.
Et ainsi le bot qui était derrière nos spams, se retrouvait fort dépourvu lorsque le message s'affichait et ne pouvait poster et celui qui avait programmé le bot capitulait...
Hélas, le revers de la médaille, tu viens de l'éprouver...
Je te donne une parade : tu tapes ta formule en Latex, tu la transformes en image (.png ou .jpg), tu la stockes chez un hébergeur d'images, récupère le lien donné, tu glisses le lien dans ton texte, puis tu publies...
Si tu ne sais pas comment faire ça, envoie-moi le tout, je le fais et je te le retourne, travail fait, prêt à être publié par toi...

@+

Zebulor · 20-10-2026 19:45:27

Bonsoirr,
avant que Michel ne revienne, j ai envie de revenir au point de départ et de prendre un exemple concret :

Mahm-prof a écrit :

Comment expliquer à mes élèves qu'une implication A implique B tel que A fausse et B fausse est fausse ??
Pourquoi fausse donne fausse est fausse ???
Merci beaucoup .

Si $x=2$ alors $x^2=4$

Notons :

A : $x=2$
B : $x^2=4$

On considère l implication A ⇒ B et on examine alors différents cas.

x=2 : A vraie, B vraie → l'implication est vraie.
x=−2 : A fausse, B vraie → l'implication est vraie.
x=3 : A fausse, B fausse → l'implication est vraie comme l écrit Michel parce la phrase mathématique ne parle que des cas où $x=2$. Elle affirme qu à chaque fois que $x=2$ alors $x^2=4$.

Or lorsque $x$ vaut 3 on est en dehors de l hypothèse. Le cas x=3 ne contredit pas l'implication, car l'hypothèse $x=2$ n'est pas satisfaite. Le cas n infirme pas la règle.

je me demande si mon exemple ne permet pas aussi de faire sentir pourquoi les mathématiciens raisonnent souvent ainsi :

« Supposons que x=2... »

Une fois cette hypothèse admise, tout le reste suit. Si $x$ vaut 3, on n'est simplement plus dans le cadre de l'énoncé. L'idée est que l'implication porte sur un sous-ensemble des cas possibles : ceux où l'hypothèse est vraie.

Dire que A implique B, c'est dire que la situation A vraie et B fausse est impossible en français courant, en d'autres termes encore une implication est en fait une interdiction.

Une implication est fausse si et seulement s il existe un contre-exemple, c'est-à-dire A vrai et B faux. Ce qui implicitement signifie qu elle est vrai dans toutes les autres configurations, d où la table de vérité, qui en fait n'est pas un point de départ comme on la présente parfois dans les manuels, mais découlant de la définition du contre exemple.

Dernière modification par Zebulor (20-10-2026 20:51:26)

Michel Coste · 20-10-2026 21:59:00

J'essaie avec une image.

Zebulor · 21-10-2026 09:26:48

Bonjour,
En relisant Michel, je me suis aperçu que je butais surtout sur le verbe « décharger ». En essayant de comprendre ce qu'il signifie à partir de mon exemple très simple : A :x=2 et B: $x^2=4$. Pour démontrer A→B ,, je suppose d'abord $x=2$, puis j'en déduis $x^2=4$. Jusqu'ici rien de mystérieux. Mais alors le verbe "décharger" me suggère qu'on ne supprime pas vraiment l'hypothèse A, puisque celle-ci se retrouve dans l'implication finale. On pourrait presque dire qu'elle cesse d'être une hypothèse ouverte pour devenir une partie de la conclusion. J'ai eu l'impression que tout se jouait dans ce déplacement.

beagle1 · 21-10-2026 09:32:30

Nous sommes d'accord, mais une difficulté avec le langage commun est que le si A alors B s'entend pour A vrai

alors on refuse l'écriture en démonstration du si A alors B,
qu'il faut remplacer par un
A donc B en rédactionnel
(ok ça marche)

mais le A donc B est horrible dans l'hérédité du raisonnement par récurrence, ou dans le cas du raisonnement par l' absurde
Zebulor nous propose d'écrire,
supposons que
(ok ça marche)

Et par exemple si je fais une disjonction de cas, cela pose un problème rédactionnel a quel moment
si truc alors machin
si autre truc alors autre machin
si else alors
je dois dire que ma disjonction de cas se fait en la supposant vraie ?

ce qui m'avait choqué il ya quelques années c'est le sentiment de confiscation du SI ( principe du conditionnel, de l'hypothése
) pour une utilisation propriétaire,
certe utilisation élargie, mais qui vient percuter l'utilisation habituelle d'un si a alors b, dans un test d'hypothèse, dans une disjonction de cas,
que sais- je encore.

Dernière modification par beagle1 (21-10-2026 09:33:21)

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#1 15-10-2026 01:46:27

Fausse implique fausse est fausse

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