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inconnu

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Ensemble dénombrable

Bien le bonsoir,
Est-il possible qu'une personne se dévoue pour m'expliquer la démonstration qui prouve que tout sous-ensemble de N est dénombrable?
Belle soirée.

Fred

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Inscription : 26-09-2005

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Re : Ensemble dénombrable

Bonsoir,

  Une remarque d'abord, ce que tu écris n'est pas juste, c'est toute partie infinie de $\mathbb N$ qui est dénombrable.
Dans le cas où $A$ est une partie de $\mathbb N$ infinie, il faut construire une bijection de $\mathbb N$ sur $A.$ L'idée est assez simple : on envoie $0$ sur le plus petit élément de $A$ (qui existe car toute partie de $\mathbb N$ non vide admet un plus petit élément). J'appelle $a_0$ ce plus petit élément, et $A_1=A\backslash\{a_0\}$. L'ensemble $A_1$ est toujours non vide (car $A$ est infini) donc un élément un plus petit élément. Je note $a_1$ ce plus petit élément et on envoie $1$ sur $A_1$. On continue ainsi (il faut faire une récurrence),
puis démontrer que la fonction construite est bien une bijection ...
  Souhaites-tu des éclaircissements particuliers ?

F.