Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Ernst

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Jeu des paires

Bonjour,

Pour trouver un sujet de programmation mathématique que les mathématiques vont peiner à résoudre, j’ai eu l’idée d’une réussite toute bête : on mélange un jeu de cinquante-deux cartes à jouer, puis on étale les cartes en ligne les unes après les autres faces découvertes. Si deux cartes adjacentes ont la même valeur ou la même couleur (rouge ou noir), on retire cette paire et on bouche le trou en rapprochant les autres cartes. En cas de paires multiples, le joueur peut bien sûr choisir la paire qu’il enlève d’abord. Le but du jeu est de réussir à enlever toutes les cartes, et sinon de minimiser le nombre de cartes restantes.

Défi qui se prête bien à la programmation – pas de bibliothèque spécialisée, pas de ressources graphiques – et qui devrait donner du fil à retordre aux passionnés de casse-tête et d’informatique.

Ernst

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Re : Jeu des paires

Bonjour,

La programmation consiste donc à modéliser d’abord une distribution mélangée, puis de compter les paires valides, puis d'en retirer une au hasard parmi celles-ci, puis de recommencer le décompte, puis de retirer la suivante, etc. jusqu’à disparition de toutes les cartes ou blocage.

Le langage ici importe peu. Sur des milliers de distributions aléatoires, on s’aperçoit que le taux de succès est de l’ordre de 13 %, pas terrible. Si on privilégie le retrait des paires de même couleur avant celles de même valeur, surprise, le taux de succès montre à 22 %. Est-ce le début d’une stratégie ?

Optimix

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Re : Jeu des paires

Bonjour Ernst,
Je viens de développer cette réussite en VBE sous Excel. Il y a probablement une stratégie à adopter au départ, mais c'est ça qui est difficile, pas la programmation de la réussite. Je pourrais vous mettre le fichier .XLSM ici, mais comme les macros n'ont pas bonne réputation, je ne sais pas si c'est autorisé ici.

Ernst

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Re : Jeu des paires

Bonjour,

Oui, j’ai proposé en programmation parce qu’il y a plusieurs façons d’aborder la chose, et les préoccupations habituelles comme représenter les cartes ou simuler un grand nombre de parties sont autant de petits casse-tête plaisants à résoudre je pense.

Pour ce qui est des stratégies, j’avoue ne pas avoir réussi à en trouver. J’en ai essayée trois, accessibles à un humain qui essaie la réussite :
- au hasard parmi les paires valides (à la suppression)
- au hasard mais les couleurs d’abord
- au hasard parmi les paires qui permettent une nouvelle paire après retrait, les couleurs d’abord

COMPARAISON DES STRATÉGIES (sur une même distribution)
========================================
Nombre de distributions : 10000
========================================
Essais par distribution : 1
------------------------------------------------------------
Stratégie 'hasard'              : 13.1% de distributions réussies
Stratégie 'couleur prioritaire' : 22.2% de distributions réussies
Stratégie 'nouvelle paire'      : 25.6% de distributions réussies

À priori, la troisième stratégie paraît la bonne. Je me suis demandé ce que cela donnerait si le joueur s’amusait à refaire, encore et encore, ses essais avec la même donne :

Essais par distribution : 3
------------------------------------------------------------
Stratégie 'hasard'              : 26.2% de distributions réussies
Stratégie 'couleur prioritaire' : 22.8% de distributions réussies
Stratégie 'nouvelle paire'      : 28.3% de distributions réussies

Et là surprise, la deuxième stratégie reste le nez dans le guidon et ne permet pas de tomber ‘par hasard’ sur une combinaison gagnante. Apparemment il y en a, mais elles sont rares…

Essais par distribution : 10
------------------------------------------------------------
Stratégie 'hasard'              : 39.8% de distributions réussies
Stratégie 'couleur prioritaire' : 24.3% de distributions réussies
Stratégie 'nouvelle paire'      : 33.3% de distributions réussies

Deuxième surprise, même la ‘meilleure’ stratégie va être incapable de trouver des chemins gagnants quand la distribution est un peu compliquée, et cela se confirme :

Essais par distribution : 50
------------------------------------------------------------
Stratégie 'hasard'              : 51.9% de distributions réussies
Stratégie 'couleur prioritaire' : 27.9% de distributions réussies
Stratégie 'nouvelle paire'      : 38.6% de distributions réussies

De façon tout à fait étonnante, la stratégie qui consiste à jouer au hasard n’est pas la meilleure en une seule partie, mais en multipliant les tentatives sur la même distribution, elle permet de tomber sur des combinaisons que les autres stratégies s’interdisent par structure et donc ne trouveront jamais.

On s’aperçoit donc que les distributions sont finalement plus ‘résolubles’ qu’on ne le pense, et si actuellement le joueur tourne autour de 25 % de réussite, un joueur ‘parfait’ peut faire nettement mieux...

Optimix

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Re : Jeu des paires

Re-bonjour,
Un peu comme avec le jeu de Marienbad dont la solution est donnée par Nim, je pense que le tirage aléatoire des 52 cartes est gagnant ou perdant au départ. Si on joue de façon aléatoire, on a très peu de chance de gagner.
Reste à démontrer que le tirage est perdant ou gagnant au départ.

Dernière modification par Optimix (15-10-2026 04:39:40)

jelobreuil

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Re : Jeu des paires

Bonjour,
une idée comme ça : au lieu de prendre un jeu complet, se limiter aux 1 à 6, puis aux 1 à 7, etc... et voir s'il y a une loi qui se dégage...
Cordialement, JLB

Optimix

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Re : Jeu des paires

Bonjour jelobreuil,
Ton idée me semble être un bon départ. Je l'ai poussée en réduisant le jeu à 16 cartes (As, Rois, Dames et Valets uniquement).
Voici deux distributions : la 1ère est perdante au départ et la seconde gagnante. Il faut trouver la logique. Je pense qu'elle peut être binaire comme dans le jeu de Nim.

Ernst

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Re : Jeu des paires

Bonjour,

Oui pour le jeu de Marienbad, la situation est sans doute celle-ci : ou bien la distribution est épuisable, succès, environ 77~78 % des fois, ou bien elle ne l’est pas et aucune stratégie n’y changera jamais rien, ceci environ 22~23 % des fois.

Et également oui pour démarrer petit, avec deux distributions possibles ; soit on prend un jeu réduit, par exemple 32 cartes ou 16 cartes, mais dans l’ordre de valeur, soit on prend un jeu réduit avec des cartes tirées au hasard dans le jeu de 52 cartes. Ce qui n’est bien sûr pas du tout la même chose.

Perso je n’ai pas trouvé de stratégie, j’ai programmé des anticipations de un, deux ou plusieurs coups à l’avance, mais on rentre vite dans des heuristiques compliquées, des recherches en faisceau, des élagages, que sais-je encore, qui de toute façon dépassent les capacités d’un joueur lambda.

Par contre j’ai fait un programme qui peut trouver immédiatement si une distribution est résoluble ou non, ce qui m’a permis d’établir des statistiques à la louche, toujours incapable que je suis d’en calculer mathématiquement les probabilités.

Optimix

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Re : Jeu des paires

Bonjour,
Même avec le minimum (4 As, 4 Rois et 4 Dames par exemple), je n'ai pas trouvé de stratégie qui tienne la route.
Celle qui me donne les meilleurs résultats avec les 52 cartes consiste à isoler une carte de la même couleur aux deux extrémités et à éliminer les cartes de cette couleur entre les deux.
Si le coeur vous en dit la réussite au format Excel est ici .
J'ai mis dans la feuille mémo les solutions pour deux distributions gagnantes.
Je crois que je vais en rester là.
PS : quelques casse-têtes logiques et mathématiques là.

Dernière modification par Optimix (Hier 19:33:37)

Ernst

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Re : Jeu des paires

Celle qui me donne les meilleurs résultats avec les 52 cartes consiste à isoler une carte de la même couleur aux deux extrémités et à éliminer les cartes de cette couleur entre les deux.

Bonjour,

Intéressant, parce que c'est la méthode utilisée pour résoudre de façon immédiate et infaillible la question du succès ou de l'échec de n'importe quelle distribution : le parenthésage.

À la base, il n'y a aucun croisement de cartes à retirer, elles sont simplement juxtaposées ou séparées. L'idée est donc, si on progresse de gauche à droite, de trouver toutes les cartes qui suivent valides pour un retrait et savoir si on peut complètement supprimer ce qu'il y a entre les deux. Ce qui nous revoie au même problème mais réduit, gigogne si on préfère. Programmation dynamique : une fois qu'on atteint une position terminale, on la mémorise, ce qui fournit une réponse immédiate pour les séries déjà évaluées de plus en plus grandes que l'on retrouve dans cette exploration. Cela permet ensuite de déterminer le minimum de cartes restantes et de reconstituer la séquence menant à une solution optimale.