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velocipederectangle183

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Simplification d'une preuve dans le Gourdon Algèbre

Bonjour,

Après mon post avant-hier sur le Gourdon Analyse, c'est au tour du Gourdon Algèbre... Je continue avec une proposition de simplification de preuve dans le dernier bouquin de la série de Xavier Gourdon intitulé Algèbre et probabilités - Les concours des plus grandes écoles pour les étoilés - MP*.

Je vous saurai gré si vous pouviez vérifier la validité de mon raisonnement, très simple.

Soit $a,b \in \mathbb{N}^{*}$ premiers entre eux. Il faut montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers entre eux dans la suite $(u_n) = (a+nb)_{n \in \mathbb{N}}$.

Le livre s'embarque alors dans une preuve assez absconse par récurrence s'inspirant de la démo d'Euclide.

Pourtant il me semble que c'est assez élémentaire. Voici ma preuve.

***************************************

Montrons qu'il existe une infinité de $n$ tels que $(a+b) \wedge (a+nb) = 1$.

• Montrons déjà que l'on a :

$\forall n \in \mathbb{N} \quad (a+b) \wedge (a+nb) = (a+b) \wedge (n-1)$

On a $(a+b) \wedge (a+nb)=(a+b) \wedge (a+nb-n(a+b)) = (a+b) \wedge (1-n)a = (a+b) \wedge (n-1)a$.
Or, on a par hypothèse $a \wedge b =1$, et donc $(a+b) \wedge a =1$.
Il est alors classique que $(a+b) \wedge (n-1)a=(a+b) \wedge (n-1)$.

• Posons $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite des premiers. Posons $(q_n)=(p_n+1)$.
En appliquant le résultat précédent il vient :

$\forall n \in \mathbb{N} \quad (a+b) \wedge (a+q_n b) = (a+b) \wedge p_n$

• Pour $n$ assez grand, il est évident que $(a+b) \wedge p_n=1$. Pour $n$ assez grand, on a donc $(a+b) \wedge (a+q_n b)=1$.  Il s'ensuit qu'il existe une infinité de $n$ tels que $(a+b) \wedge (a+n b)=1$.
CQFD.
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Dernière modification par velocipederectangle183 (07-09-2026 10:35:32)

Michel Coste

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Re : Simplification d'une preuve dans le Gourdon Algèbre

Bonjour,
je ne comprends pas très bien l'énoncé. S'il s'agit de démontrer qu'il y a une infinité de nombres premiers entre eux deux à deux dans la suite arithmétique (c'est plus faible que Dirichlet), ce que tu fais ne suffit pas.

Dernière modification par Michel Coste (07-09-2026 11:58:31)

velocipederectangle183

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Re : Simplification d'une preuve dans le Gourdon Algèbre

Bonjour,
je ne comprends pas très bien l'énoncé. S'il s'agit de démontrer qu'il y a une infinité de nombres premiers entre eux deux à deux, ce que tu fais ne suffit pas.

Il s'agit de montrer qu'il y a une infinité de couples $(u_n,u_m)$ avec $u_n \wedge u_m=1$.

Ou encore, pour recopier l'énoncé, que posant $A=\{a+nb \mid n \in \mathbb{N}\}$, il existe une infinité d’entiers de $A$ premiers entre eux deux à deux.

Mais oui effectivement, j'ai probablement mal compris. Peut-être veut-il dire qu'il existe un sous-ensemble de $A$ dans lequel les nombres sont deux à deux premiers entre eux. Est-ce votre propos ? Dans ce cas c'est effectivement différent. Je vais essayer de le montrer (sans Dirichlet bien sûr...).

Dernière modification par velocipederectangle183 (07-09-2026 12:10:21)

Michel Coste

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Re : Simplification d'une preuve dans le Gourdon Algèbre

Ta reformulation "il y a une infinité de couples ... " n'est pas équivalente à l'énoncé.
L'énoncé veut dire qu'il existe un sous ensemble infini $B$ de $A$ tel que, pour tous $b$ et $c$ dans $B$, $b\wedge c=1$.

velocipederectangle183

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Re : Simplification d'une preuve dans le Gourdon Algèbre

merci, je vais essayer de le montrer. Les exos ont une très bonne difficulté dans ce bouquin, c'est parfait pour préparer l'agreg.

Dernière modification par velocipederectangle183 (07-09-2026 12:25:34)

Michel Coste

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Re : Simplification d'une preuve dans le Gourdon Algèbre

"une preuve assez absconse par récurrence s'inspirant de la démo d'Euclide"
Ça me semble effectivement la voie à suivre (la démonstration de l'infinité des nombres premiers). Je te laisse le qualificatif d'"absconse", je n'ai pas le texte de Gourdon sous les yeux.