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Louis-Gauthier

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Exercice géométrie vectorielle niveau terminale avancée

Bonjour à tous

J'espère que vous passez un bon début de week-end ! J'aurais besoin de votre aide pour la seconde question d'un exercice car même l'IA fournit des réponses peu convaincantes. Je vous remercie par avance pour votre temps et votre implication.

La démonstration repose sur le fait de montrer que le vecteur MP=PN, ou encore que le vecteur KP = (KM + KN) / 2 ( formule du milieu), ce qui revient à la même chose une fois les substitutions faites avec la relation de Chasles. Bref, calculatoirement parlant, sans utiliser de paramètre du style AB = t*AM avec t réel, je pense que cela est faisable avec l'égalité vectorielle démontrée à la question 1 et en « spammant » éventuellement les égalités avec les formules du milieu (le concept même de l'exercice après tout), ce qui permettrait de constituer un système d'équations. Toutefois, j'en ai déjà effectué de nombreux et cela n'a pas l'air d'être fructueux ; ma question est donc en réalité davantage une question de méthodologie pour résoudre cela rapidement (apprendre à être concis n'a pas de prix…)

Je suis dispo et j'attends votre aide amis matheux (le lien ci-dessous est censé fonctionner pendant 6 mois).

https://ibb.co/Q7pJHbrk

Dernière modification par Louis-Gauthier (05-09-2026 12:07:09)

Roro

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Re : Exercice géométrie vectorielle niveau terminale avancée

Bonjour,

Voici une proposition d'idée :

$\bullet$ Pour la question 1, je pense que tu n'as pas eu de difficulté, il s'agit d'appliquer la relation de Chasles. Mais j'irai un peu plus loin :
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \big( \overrightarrow{AL} + \overrightarrow{LK} + \overrightarrow{KB} \big) + \big( \overrightarrow{DL} + \overrightarrow{LK} + \overrightarrow{KC} \big) = \big( \overrightarrow{AL} + \overrightarrow{DL} \big) + 2\overrightarrow{LK} + \big( \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} \big)\]
En écrivant ainsi, on montre ce qui est demandé à la première question car si $K$ est le milieu de $[BC]$ alors $ \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}$, et si $L$ est le milieu de $[AD]$ alors $ \overrightarrow{AL} + \overrightarrow{DL} = \overrightarrow{0}$.

Mais en fait, on a montré un peu plus, presqu'une réciproque : si l'égalité demandée est vraie : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} =2\overrightarrow{LK}$, et que $L$ est le milieu de $[AD]$ alors $K$ est le milieu de $[BC]$.

$\bullet$ Pour la question 2, puisque $P$ est un point de $[LK]$, il existe $\lambda\in [0,1]$ tel que $\overrightarrow{LP} = \lambda \overrightarrow{LK}$. Je définis ensuite $M$ et $N$ tels que $\overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DN} = \lambda \overrightarrow{DC}$.

Ainsi, en multipliant l'égalité obtenue à la question 1 par $\lambda$, on a
\[\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{DN} =2\overrightarrow{LP}\]
et d'après la "réciproque" que j'ai évoqué à la fin de la question 1, on en déduit que $P$ est le milieu de $[MN]$.

Pour l'unicité, je n'ai pas réfléchi...

Roro.

Dernière modification par Roro (05-09-2026 15:06:16)

Louis-Gauthier1

Invité

Re : Exercice géométrie vectorielle niveau terminale avancée

Bonjour,

Je vous remercie pour votre proposition particulièrement avisée !

Votre idée consiste en la manipulation d'une implication, de passer de celle-ci ( avec a=AB+DC et b=2LK ) "si a=b et vecteur AL=LD→? est le milieu de [?⁢?]" à celle-ci "si a?=b? et vecteur AL=LD →P est le milieu de [MN]" , or peut-on la considérer comme juste si la condition "vecteur AL=LD" ne change pas aussi ?

Roro

Membre expert

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Re : Exercice géométrie vectorielle niveau terminale avancée

Re,

Je ne comprend pas trop ta question car il y a des "?" un peu partout...

Pour être plus simple, j'ai essentiellement dit qu'en utilisant l'égalité (Chasles) :

\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \big( \overrightarrow{AL} + \overrightarrow{DL} \big) + 2\overrightarrow{LK} + \big( \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} \big)\]

on démontre directement deux choses :

Si $\overrightarrow{AL} + \overrightarrow{DL}=\overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$ alors $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{LK}$.

Si $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{LK}$ et $\overrightarrow{AL} + \overrightarrow{DL}=\overrightarrow{0}$ alors $\overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$.

Roro.

Dernière modification par Roro (05-09-2026 17:27:15)

Louis-Gauthier

Membre

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Re : Exercice géométrie vectorielle niveau terminale avancée

Oui en effet c'est bizarre, j'écrivais : Votre idée consiste en la manipulation d'une implication, de passer de celle-ci ( avec a=AB+DC et b=2LK ) "si a=b et vecteur AL=LD→k est le milieu de [BC]" à celle-ci "si ax=bx ( avec x = votre gamma ) et vecteur AL=LD →P est le milieu de [MN]" , or peut-on la considérer comme juste si la condition "vecteur AL=LD" ne change pas elle aussi ?

Dernière modification par Louis-Gauthier (05-09-2026 17:37:32)