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Alex2909

Invité

Fonction polynomiale et loi de Bernoulli

Bonjour à tout le monde,
Voici un sujet sur lequel je planche et j'aurais besoin d'idées s'il vous plait.

Pour p ∈ [0, 1], on se donne (X1 , X2 , X3 , . . . ) une suite de variables aléatoires indépendantes telle
que chaque Xi soit de loi de Bernoulli de paramètre p. Pour tout entier n ≥ 1, on s’intéresse à la quantité fn(p)=P(X1 +···+Xn ≤n/2).
(1) Calculer les fonctions f1, f2, f3 et f4.

Aucune difficulté pour cette question en faisant attention à ce que la somme des Xi soit entière.

(2) Démontrer que, pour tout n ≥ 1, la fonction fn est polynomiale de degré au plus n.

Je suis parti de l'idée que la somme des Xi suit une loi binomiale de paramètre (n,p). Puis j'ai remarqué que fn(p) = P(Sn ≤ 1/2) = somme de 1 à la partie entière de n/2 des P(Sn=k) où Sn suit une loi binomiale de paramètre (n,p). Puisque P(Sn=k) = (k parmi n) p^k (1-p)^n-k et que le produit p^k (1−p)^n−k est un polynôme de degré au plus n (produit des degré = somme des degrés), f est une somme finie de tels polynômes et on obtient que fn est un polynôme de degré n
Je ne suis pas sur de la somme cependant et je souhaitais savoir si l'on pouvait réaliser une récurrence.
   
(3) Soit p ∈ [0, 1] tel que p diffère de 1/2. Démontrer que la suite (fn (p)) admet une limite quand n tend vers +∞ et calculer cette limite, dont la valeur peut dépendre de p. On pourra utiliser la loi faible des grands nombres.

Puisque les Xi suivent des loi de Bernoulli, Sn/n -> p en l'infini (où Sn suit toujours la loi binomiale (n,p) correspondant à la somme des Xi/n). J'ai ensuite trouvé que fn(p) = P(Sn/n ≤ 1/2). J'ai tenté de distinguer les cas p>1/2 ou p<1/2 mais je n'aboutis pas...

DeGeer

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Re : Fonction polynomiale et loi de Bernoulli

Bonjour
Je n'ai pas fait l'exercice en détail, mais tu peux éventuellement utiliser le fait que, d'après la loi faible des grands nombres, $\frac{S_n}{n}$ converge en probabilité vers $p\neq \frac{1}{2}$ et réécrire la définition de la convergence en probabilité.

Dernière modification par DeGeer (17-08-2026 09:02:03)

Alex2909

Invité

Re : Fonction polynomiale et loi de Bernoulli

Exact ! Merci pour cette précision et je vais utiliser après la convergence en probabilité.
Est-ce que pour les deux autres réponses cela vous semble juste ?

DeGeer

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Re : Fonction polynomiale et loi de Bernoulli

La 1, tu ne l'as pas écrite ici donc je ne peux pas savoir si c'est bon, même si ce n'est pas une question difficile. Pour la 2, c'est bon. Si on utilise le fait qu'une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, c'est facile, il suffit de rédiger correctement, par exemple en écrivant explicitement $f_n(p)$.