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Alex2909

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Equation fonctionnelle

Bonjour à tous,
Voici un problème d'équation fonctionnelle : déterminer toutes les fonctions f dérivable de R dans R telles que intégrale de xày de f(t)dt = ((y-x)/2)*(f(x)+f(y)) pour tous x,y réels.

Voici mon idée. Je raisonne par analyse synthèse
Analyse.
Suppose f une telle fonction décrite par l'énoncé.
Fixons x, posons F(y) = intégrale de xày de f(t)dt. Par définition f est dérivable R et donc continue sur R. Donc, d'après le théorème fondamentale de l'analyse, F est dérivable et sa dérivée est égale à f. Donc, pour tous réels y, F'(y) = f(y) =(1/2)*(f(x)+f(y)) + ((y-x)/2)*f'(y) en dérivant par rapport à y et par opérations élémentaire de produit de dérivées de fonctions.
Par arrangements, il vient alors que pour tous x,y réels, f(y)-f(x) = (y-x)f'(y)

En dérivant cette dernière expression par rapport à x cette fois, y fixé, il vient alors que l'on obtient que pour tous x,y réels, f'(y)=f'(x) donc f' est constante et donc f affine

Synthèse.
En posant f(x)=ax+b, cela répond aux éléments de définitions de l'équation de départ.

Donc les fonctions affines conviennent et sont seules solutions.

Alex2909

Invité

Re : Equation fonctionnelle

Je voulais surtout un retour sur la rédaction je ne sais pas si c'est rigoureux de dériver par y puis par x

bridgslam

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Re : Equation fonctionnelle

Bonjour,

Cela est correct pour moi.

Il me semble aussi que pour la fin de ta preuve, comme l'expression  obtenue est exactement celle de la tangente à f en y, f est donc égale à la fonction  tangente à f en y, donc c'est une fonction affine.
En fait à ce moment-là tu dérives pour intégrer ensuite, alors que tout est déjà sous tes yeux, c'est donc un surplus de travail inutile.

Dernière modification par bridgslam (18-07-2026 19:41:30)

Black Jack

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Re : Equation fonctionnelle

Bonjour,

J'aurais ajouté une vérification en plus (mais je ne suis pas matheux):

S(de xày) f(t) dt = (y-x)/2 * (f(x) + f(y))  (1)

En dérivant les 2 membres de (1) par rapport à y (donc en considérant x constant), il vient : f(y) - f(x) = (y-x).f'(y)
En dérivant les 2 membres de (1) par rapport à x (donc en considérant y constant), il vient : f(y) - f(x) = (y-x).f'(x)

Ce qui permet de conclure que f'(x) = f'(y) pour tous x et y
Ce qui n'est possible que si f' est une constante, soit a cette constante …
On a donc f'(x) = a
Et par intégration, on a  f(x) = ax + b

Mais, il me semble qu'il faut vérifier si c'est valable quels que soient les réels a et b
 
Pour cela on remet ces solutions dans (1).

S(de xày) (at+b) dt = [1/2 at² + bt](dexày) = 1/2.a(y²-x²)+b(y-x) = (y-x)/2 * (a(x+y) + 2b) (pour le membre de gauche de (1))

et (y-x)/2 * (f(x) + f(y)) = (y-x)/2 * (ax + b + ay + b) = (y-x)/2 * (a(x+y) + 2b) (pour le membre de droite de (1))

L'équation (1) est donc bien vérifiée quelles que soient les valeurs réelles de a et de b.

L'ensemble des solutions est donc bien f(x) = ax + b quelles que soient les valeurs réelles de a et b.

bridgslam

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Re : Equation fonctionnelle

Bonsoir,

L'expression obtenue par dérivation par rapport à x est inutile,  car :
f(y)-f(x)= (y-x)f'(y) <=> f(x)-f(y)= (x-y)f'(y) .
Si tu permutes les dénominations x, y,  tu voies que c'est pareil: tu l'aurais d'ailleurs obtenue si tu avais nommé y la borne basse et x la borne haute de l'intégrale...
#3: on a donc sous les yeux l'expression de la fonction que doit nécessairement vérifier f.

Pourquoi se compliquer la vie?

Michel Coste

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Re : Equation fonctionnelle

Bonjour,
En dérivant par rapport à $y$, on montre que $f$ doit vérifier $f(x)-f(y)= (x-y)f'(y)$ pour tous réels $x,y$. En particulier, pour tout réel $x$, $f(x)=f(0)+ f'(0)x$ et donc $f$ est affine. Réciproquement, pour toute fonction affine $f$ et tous réels $x,y$, l'intégrale de $f$ de $x$ à $y$ vaut bien $y-x$ fois la valeur au milieu de l'intervalle $(f(x)+f(y))/2$ (trapèze !).

Dernière modification par Michel Coste (22-07-2026 15:06:52)

Alex2909

Invité

Re : Equation fonctionnelle

Merci pour tous vos retours. Effectivement l'intégration finale n'est pas utile c'est du surplus de travail. Néanmoins, j'aime beaucoup ce qui a été proposé avec f(0) et f'(0) puisque cela donne effectivement une fonction affine visible dans ce cas-ci.

Alex2909

Invité

Re : Equation fonctionnelle

Bonjour,

J'aurais ajouté une vérification en plus (mais je ne suis pas matheux):

S(de xày) f(t) dt = (y-x)/2 * (f(x) + f(y))  (1)

"En dérivant les 2 membres de (1) par rapport à y (donc en considérant x constant), il vient : f(y) - f(x) = (y-x).f'(y)
En dérivant les 2 membres de (1) par rapport à x (donc en considérant y constant), il vient : f(y) - f(x) = (y-x).f'(x)

Ce qui permet de conclure que f'(x) = f'(y) pour tous x et y
Ce qui n'est possible que si f' est une constante, soit a cette constante …
On a donc f'(x) = a
Et par intégration, on a  f(x) = ax + b

Mais, il me semble qu'il faut vérifier si c'est valable quels que soient les réels a et b
 
Pour cela on remet ces solutions dans (1).

S(de xày) (at+b) dt = [1/2 at² + bt](dexày) = 1/2.a(y²-x²)+b(y-x) = (y-x)/2 * (a(x+y) + 2b) (pour le membre de gauche de (1))

et (y-x)/2 * (f(x) + f(y)) = (y-x)/2 * (ax + b + ay + b) = (y-x)/2 * (a(x+y) + 2b) (pour le membre de droite de (1))

L'équation (1) est donc bien vérifiée quelles que soient les valeurs réelles de a et de b.

L'ensemble des solutions est donc bien f(x) = ax + b quelles que soient les valeurs réelles de a et b.

" il faut en outre écrire que f va de R dans R et qu'elle est dérivable ... pour vérifier les conditions !

Alex2909

Invité

Re : Equation fonctionnelle

Bonjour,

J'aurais ajouté une vérification en plus (mais je ne suis pas matheux):

S(de xày) f(t) dt = (y-x)/2 * (f(x) + f(y))  (1)

"En dérivant les 2 membres de (1) par rapport à y (donc en considérant x constant), il vient : f(y) - f(x) = (y-x).f'(y)
En dérivant les 2 membres de (1) par rapport à x (donc en considérant y constant), il vient : f(y) - f(x) = (y-x).f'(x)

Ce qui permet de conclure que f'(x) = f'(y) pour tous x et y
Ce qui n'est possible que si f' est une constante, soit a cette constante …
On a donc f'(x) = a
Et par intégration, on a  f(x) = ax + b

Mais, il me semble qu'il faut vérifier si c'est valable quels que soient les réels a et b
 
Pour cela on remet ces solutions dans (1).

S(de xày) (at+b) dt = [1/2 at² + bt](dexày) = 1/2.a(y²-x²)+b(y-x) = (y-x)/2 * (a(x+y) + 2b) (pour le membre de gauche de (1))

et (y-x)/2 * (f(x) + f(y)) = (y-x)/2 * (ax + b + ay + b) = (y-x)/2 * (a(x+y) + 2b) (pour le membre de droite de (1))

L'équation (1) est donc bien vérifiée quelles que soient les valeurs réelles de a et de b.

L'ensemble des solutions est donc bien f(x) = ax + b quelles que soient les valeurs réelles de a et b.

" il faut en outre écrire que f va de R dans R et qu'elle est dérivable ... pour vérifier les conditions !

Ce qui est le cas pour les fonctions affines

Black Jack

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Re : Equation fonctionnelle

Bonjour,

J'aurais ajouté une vérification en plus (mais je ne suis pas matheux):

S(de xày) f(t) dt = (y-x)/2 * (f(x) + f(y))  (1)

"En dérivant les 2 membres de (1) par rapport à y (donc en considérant x constant), il vient : f(y) - f(x) = (y-x).f'(y)
En dérivant les 2 membres de (1) par rapport à x (donc en considérant y constant), il vient : f(y) - f(x) = (y-x).f'(x)

Ce qui permet de conclure que f'(x) = f'(y) pour tous x et y
Ce qui n'est possible que si f' est une constante, soit a cette constante …
On a donc f'(x) = a
Et par intégration, on a  f(x) = ax + b

Mais, il me semble qu'il faut vérifier si c'est valable quels que soient les réels a et b
 
Pour cela on remet ces solutions dans (1).

S(de xày) (at+b) dt = [1/2 at² + bt](dexày) = 1/2.a(y²-x²)+b(y-x) = (y-x)/2 * (a(x+y) + 2b) (pour le membre de gauche de (1))

et (y-x)/2 * (f(x) + f(y)) = (y-x)/2 * (ax + b + ay + b) = (y-x)/2 * (a(x+y) + 2b) (pour le membre de droite de (1))

L'équation (1) est donc bien vérifiée quelles que soient les valeurs réelles de a et de b.

L'ensemble des solutions est donc bien f(x) = ax + b quelles que soient les valeurs réelles de a et b.

" il faut en outre écrire que f va de R dans R et qu'elle est dérivable ... pour vérifier les conditions !

                                                                                                                                                    C'est textuellement imposé dans l'énoncé.