Forum de mathématiques - Bibm@th.net

anthony_unac

Membre

Inscription : 16-07-2026

Messages : 12

Montrer par récurrence que 6 divise n^5-n

Bonjour,
Je bute sur cette démonstration par récurrence.
Plus précisément sur l'hérédité.
Supposons la propriété vraie au rang [tex]n[/tex] :
[tex]6 | (n^5-n)[/tex]
Montrons qu'elle est vraie au rang [tex]n+1[/tex] :
[tex](n+1)^5-(n+1)=(n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1)-(n+1)[/tex]
Les [tex]1[/tex] s'annulent et je cherche à retrouver du [tex](n^5-n)[/tex] dans l'expression, il vient :
[tex](n+1)^5-(n+1)=(n^5-n)+5n^4+10n^3+10n^2+5n[/tex]
[tex](n+1)^5-(n+1)=(n^5-n)+5n(n^3+2n^2+2n+1)[/tex]
J'obtiens alors une somme de deux termes dont l'un est divisible par [tex]6[/tex] (hypothèse de récurrence) et l'autre est divisible par [tex]5[/tex] et je bloque à ce niveau là.

cailloux

Membre

Inscription : 21-09-2023

Messages : 286

Re : Montrer par récurrence que 6 divise n^5-n

Bonjour,
En l'occurrence, la récurrence n'est pas vraiment adaptée :
$n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ donne immédiatement une solution.

anthony_unac

Membre

Inscription : 16-07-2026

Messages : 12

Re : Montrer par récurrence que 6 divise n^5-n

$n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ donne immédiatement une solution.

Bonjour,
Trop simple de s'engouffrer dans cette voie là.
Il faut vraiment jouer le jeu de la démonstration par récurrence pour respecter l'énoncé.

cailloux

Membre

Inscription : 21-09-2023

Messages : 286

Re : Montrer par récurrence que 6 divise n^5-n

Alors on a la factorisation :
$(n+1)^5-(n+1)=n(n+1)(n+2)(n^2+2n+2)$
qui prouve bien que la solution récurrence est inutile (voire mauvaise)  puisqu'on n'a pas besoin de "l'hypothèse de récurrence".

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 511

Re : Montrer par récurrence que 6 divise n^5-n

Bonjour,
$$\begin{align}n\,(n^3+2n^2+2n+1)&=n(n+1)(n^2+n+1)=n(n+1)((n+2)(n-1)+3)\\ &=n(n+1)(n+2)(n-1)+ 3n(n+1)\end{align}$$ est visiblement divisible par 6.

Dernière modification par Michel Coste (22-07-2026 15:04:11)

Black Jack

Membre

Inscription : 15-12-2017

Messages : 519

Re : Montrer par récurrence que 6 divise n^5-n

$n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ donne immédiatement une solution.

Bonjour,
Trop simple de s'engouffrer dans cette voie là.
Il faut vraiment jouer le jeu de la démonstration par récurrence pour respecter l'énoncé.

Bonjour,

Je poursuis ta démo du message initial.

(n+1)^5 - (n+1) = (n^5 - n) + 5n(n³+2n²+2n+1)
(n+1)^5 - (n+1) = (n^5 - n) + 5n(n³+n²+n²+n+n+1)
(n+1)^5 - (n+1) = (n^5 - n) + 5n(n²(n+1)+n(n+1)+(n+1))
(n+1)^5 - (n+1) = (n^5 - n) + 5n(n+1)(n²+n+1)

(n^5 - n) est divisible par 6 car …

reste à montrer que 5n(n+1)(n²+n+1) est aussi divisible par 6.

3 cas possibles:

a) n = 3k (k entier)
n est divisible par 3 et n(n+1) est divisible par 2 (2 entiers consécutifs contiennent un pair et un impair)
--> 5n(n+1)(n²+n+1) est divisible par 2 et par 3 --> divisible par 6

b) n = 3k+1
n²+n+1 = 9k²+6k+1+3k+1+1 = 9k²+ 9k + 3 --> divisible par 3
et comme  n(n+1) est divisible par 2
On a  5n(n+1)(n²+n+1) est divisible par 2 et par 3 --> divisible par 6

c) n = 3k+2
(n+1) = 3k+3 --> divisible par 3
et comme  n(n+1) est divisible par 2
On a  5n(n+1)(n²+n+1) est divisible par 2 et par 3 --> divisible par 6

Donc si (n^5 - n) est divisible par 6 , alors (n+1)^5 - (n+1) est aussi divisible par 6.

anthony_unac

Membre

Inscription : 16-07-2026

Messages : 12

Re : Montrer par récurrence que 6 divise n^5-n

Bonjour à tous,
Merci pour vos contributions qui hélas ne parviennent pas à se défaire des incontournables étapes intermédiaires :
1/ Le produit de deux nombres consécutifs est divisible par deux
2/ Le produit de trois nombres ------------------------------------
Je vais finir par croire qu'il est impossible de conclure sans ses étapes.

DeGeer

Membre

Inscription : 28-09-2023

Messages : 239

Re : Montrer par récurrence que 6 divise n^5-n

Bonjour
Tu peux aussi raisonner modulo $6$, en vérifiant que quelle que soit la classe de $n$ modulo $6$, $n$ et $n^5$ sont dans la même classe de congruence modulo $6$.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 511

Re : Montrer par récurrence que 6 divise n^5-n

Bonsoir,
et si on a la flemme de calculer des puissances 5^e (même modulaires), on peut remarquer  que modulo 2 on a $n^2\equiv n$, et donc $n^5\equiv n^4\equiv n^3\equiv n^2\equiv n$ et que modulo 3 on a $n^3\equiv n$, et donc $n^5\equiv n^3\equiv n$.