Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

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Lancer de 2 boules de verre

Bonjour,

(Niveau ***)
On dispose de deux boules en verre parfaitement identiques.
On peut les lancer d'un gratte-ciel de 100 étages, et on souhaite savoir à partir de quel étage les boules cassent lorsqu'elles tombent au sol.
Quelle est la stratégie optimale pour effectuer, en moyenne, le moins de lancers possibles (sachant bien sûr que l'on ne dispose que de deux boules et que si l'une casse, il faut déterminer l'étage avec l'autre, sans jamais la casser avant l'étage fatidique!) ?

@
[EDIT : je viens de passer en gras l'expression "en moyenne" (elle n'est pas là pour faire joli)...

Dernière modification par yoshi (03-07-2026 16:41:33)

bridgslam

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Bonjour ,

▼solution à la normande

J'effectue un calcul d'espérance mathématique, en attribuant un équiprobabilité de 1/100 qu'un étage donné soit celui , le plus bas, où ça casse ( on admet donc aussi qu'au pire ça casse au n°100, l'issue fatale est donc certaine à un des étage... ).
En minimisant un trinôme, je trouve que l'on doit faire l'essai premier à l'étage 50, avec un nombre d'essai minimum moyen de 24.5.
J'ai donc du me planter quelque part.
Je reprends à tête reposée cet a-m, afin de ne pas dire que le nombre d'essais optimum en moyenne est entre deux étages... Ou au 25° pour assurer...
D'un autre côté, il n'est pas non plus idiot que statistiquement les valeurs 24 et 25 se trouvent à égalité ... Sur un milliard de tentatives, on pourrait avoir, à un chouïa expérimental près, m autant de tentatives minimum à 24 qu'à 25 ?
Avec 101 étages , donc un vrai étage milieu, je n'ai pas refait le calcul mais peut-être trouve-t-on un nombre moyen minimum d'essais   "plein" ?
Avec 100 niveaux, le trinôme à minimiser selon mon calcul d'espérance est $x^2 -100x + 4950$...
La stratégie à mon sens est de jeter du 50, si la boule ne se casse pas, on tente en montant avec les étages supérieurs (51, 52,...).
Si elle se casse, on teste avec l'autre boule en partant de l'étage 1 puis en montant jusqu'à la casse, au pire jusqu'à l'étage 49 si elle ne s'est pas cassée avant.

Bonne journée

Dernière modification par bridgslam (03-07-2026 11:15:12)

yoshi

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Re,

Bravo d'avoir le cran de te lancer...
J'aurais dû annoncer 4 ou 5 * parce que c'est un truc particulièrement difficile autant qu'inhabituel...
Quand on me l'avait soumis, j'avais abouti à une réponse raisonnable, après divers tâtonnements, sans pouvoir trouver une solution optimale...

▼ Quand tu trouveras un écart_type de...

3,98
(test mis au point une Sté ayant encore pignon sur rue aujourd'hui...)

alors tu devrais avoir trouvé le graal.

@+

Bernard-maths

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Bon j'arrive :

Les boules peuvent se casser à partir de n'importe quel étage, sinon il manque une donnée ...

Puisqu'on a 2 boules, on peut commencer au 2ème étage : si ça casse on essaye au 1er,

sinon on essaye au 4ème : si ça casse on essaye au 3ème,

sinon on continue de 2 e 2 !

Je suis génial (comme d'habitude), et je n'aime pas être contredit ... avis aux contradicteurs ...

Bernard-maths

yoshi

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Re,

Ah, B_m !... Va falloir transpirer un peu plus (avec une réserve de boisson fraîche à pontée de main)...
Pourquoi une réserve ?!
Bin parce que si c'était, mettons un test d'embauche, tu  aurais le temps d'avoir chaud...
Les boules sont prévues pour casser à un étage entre 1 et 100 (aussi peu probable l'un que l'autre). Supposons que tu viennes de casser la première boule au 15e étage et que tes derniers essais l'ont été aux étages 1 à 11....
Il te reste les lancers 12, 13 et 14 pour la 2e boule et tu ignores auquel de ces 3  étages la première aurait pu casser... Il te reste une boule pour le savoir ?
Le pourrais-tu ou pas ?

@+

yoshi

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Re,

Ah, B_m !... Va falloir transpirer un peu plus (avec une réserve de boisson fraîche à pontée de main)...
Pourquoi une réserve ?!
Bin parce que si c'était, mettons un test d'embauche, tu  aurais le temps d'avoir chaud...
L'énoncé demande combien d'essais en moyenne si on définit la stratégie optimale...
Les boules sont prévues pour casser à un étage entre 1 et 100 (aussi peu probables l'un que l'autre). Supposons que tu viennes de casser la première boule au 15e étage et que tes derniers essais l'ont été aux étages 1 à 11....
Il te reste les lancers 12, 13 et 14 pour la 2e boule et tu ignores auquel de ces 3  étages la première aurait pu casser... Il te reste une boule pour le savoir.
Le pourrais-tu ou pas ?

@+

verdurin

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Bonsoir,
si, au premier essai, on lance la première boule à l'étage $k$ et qu'elle casse il ne reste plus qu'une stratégie : essayer tous les étages dans l'ordre croissant.
D'après l’énoncé on sait que la boule casse si on la lance de l'étage 100. Il reste donc 99 étages à tester.
Je propose la stratégie suivante.

▼Texte caché

On lance la première boule au tiers des étages restants.
On commence donc à l'étage 33.
    Si la boule casse on parcourt les étages de 1 à 32 dans l'ordre croissant avec la seconde boule ( si elle ne casse pas à l'étage 32 le résultat est l'étage 33 ).
    Si la boule ne casse pas on essaye l'étage 55. Si la boule casse on teste les étages de 34 à 54 dans l'ordre croissant
Etc.
En faisant l'hypothèse improbable que je n'ai fait aucune erreur de calcul, il faut en moyenne 12,25 essais pour trouver l'étage à partir du quel les boules cassent.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Bpnsoir verdurin,

Joli résultat,, tu tombes vraiment pas loin... Je dirais même que tu es assez proche
Mais tu dois encore un peu optimiser ta stratégie : ton nombre moyen d'essais est encore légèrement au dessus du résultat sec attendu et publié tel quel, sans explication par la Sté (PetitMou) qui aurait donné  ça pendant un temps-paraît_il dans ses tests d'embauche. Je me demande encore ce que ce truc leur apprenait.
J'avais cru comprendre qu'il fallait avoir une approche probabiliste, c'est pourquoi, elle demandait  d'établir uns stratégie qui permette << en moyenne, le moins de lancers possibles >>
Moi par tâtonnements j'étais arrivé à 19 sans pouvoir faire mieux (je n'avais pas véritablement de stratégie, un comble pour un joueur d'échecs qui faisait de la compétition !)

@+

verdurin

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Bonsoir,
ma méthode est mauvaise, en lançant la première boule tous les dix étages on fait mieux.

▼Texte caché

En lançant la première boule des étages 14, 27, 39, 50, 60, 69, 77, 85, 92,99 jusqu’à quelle casse on arrive à une moyenne de 11,39 lancers. C'est un résultat empirique, je ne peux pas prouver qu'il est optimal.

Je joue aussi aux échecs. Et de 55 ans à 75 ans j'ai perdu 300 points Élo.

yoshi

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Re : Lancer de 2 boules de verre

RE,

C'est un résultat empirique, je ne peux pas prouver qu'il est optimal.

J'ai, moi, d'une part le résultat sec donné par PetitMou sans explication et d'autre part de la démo d'un amateur comme nous, matheux et qui était prof... d’Économie à Lausanne...
Grâce à cela, je peux dire  (En latin, on dit "doctus cum libro". Ici, ça s'applique à mon cas) que non, ton nombre moyen d'essais n'est pas encore optimal.....
Bon, tu ne peux pas encore (plus) descendre de beaucoup, mais tu peux encore descendre...

A en perdre le sommeil...

Je ne sais pas combien j'ai perdu en Elo.
J'ai arrêté de jouer aux Echecs en Club je ne supportais plus la tabagie ambiante et ma femme, lorsque je rentrais du Club m'envoyait me changer !
15 ans plus tard, lorsque le Club avait enfin pris la décision d'interdire de fumer, j'étais passé à une autre activité : le Kendo .
Hélas, le club a dû fermer, faute de prêt d'un gymnase muni d'un plancher...
On aurait pu continuer sur un de ces sols en Terraform : 3 mm de revêtement plastifié sur une dalle en béton.
Notre prof a dit niet ! on arrête ! Je ne veux pas prendre la responsabilité de vous laisser vous démonter la colonne vertébrale  et les articulations allant du bassin aux pieds (en Kendo, on doit taper du pied sur le sol à chaque frappe !!). Quant à "jouer" sur un tatami, c'était techniquement incompatible avec cet art martial...
On perdait trop de choses impossibles à réaliser et qui constituaient les fondements de notre pratique.

Chaque jour, je m'astreins  encore à essayer de résoudre le problème publié ici : https://www.europe-echecs.com/

@+

LEG

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Bonjour
Au 90 ème étage tout va bien ..; au 70 ème étage tout va bien;  au 50 ème étage jusque là tout va bien ..., L'important c'est pas la chute , c'est l'atterrissage....

verdurin

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Re : Lancer de 2 boules de verre

J'ai vraiment du mal avec ce problème.
Voilà où j'en suis.

On fait une liste de n valeurs  croissantes $(a_1,\dots a_k,\dots  a_n)$ avec $a_n=100-1$.
On lance une boule de l'étage $a_1$ puis, si elle n'a pas cassé, de l'étage $a_2$ etc jusqu’à ce qu'elle casse.
Si elle n'a pas cassé à l'étage 99 on sait qu'elle va casser à l'étage 100 d'après l'énoncé. On peut donc s’arrêter.

Pour simplifier on pose $a_0=0$ et, pour $k$ entre 1 et $n$, $d_k=a_k-a_{k-1}.$
Si la boule casse à l'étage $a_k$ on lance la seconde boule à partir de l'étage $a_{k-1}+1$ jusqu’à ce qu'elle casse.
Si elle ne casse pas à l'étage $a_k-1$ on sait que l'étage cherché est $a_k.$

En résumé si la boule casse à un étage $B$ tel que $a_{k-1}<B<a_k$ il faut $k+B-a_{k-1}$ lancers pour trouver l'étage.

En regroupant les valeurs de $B$ vérifiant $a_{k-1}<B\leqslant a_k$ on voit qu'il faut au total $(k+1)+\dots+(k+d_k)-1$ essais.
Ce qui fait $k\,d_k+\frac12 d_k(d_k+1)-1$.

Finalement l'espérance est un centième de $\sum_{k=1}^n kd_k+\frac12\sum_{k=1}^n d_k(d_k+1).$

▼Texte caché

J’arrive à une moyenne de 10,33 mais je ne suis pas sur qu'elle soit optimale, je parierais volontiers sur la valeur 10.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Ave,

Ton pari serait gagné, c'était la valeur attendue par PetitMou...

@+

yoshi

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Bonjour,

L'énigme avait été soumise pat Fred et tirée d'un entretien d'embauche chez PetitMou alias MicroSoft.
Voici la méthode qui avait développée par notre prof d'éco, bon matheux, spécialiste des calculs de Probas
Elle vaut ce qu'elle vaut, je n'en ai pas d'autre...

▼Dédié à verdurin qui s'est penché sérieusement sur le sujet...

La stratégie revient à déterminer le "pas" (2 par 2, ou bien 5 par 5, ou bien 8 par 8) tel que, pour l'ensemble des étages (i.e chaque étage est potentiellement le bon, d'où la référence au nombre minimal d'essais, en moyenne), le nombre moyen d'essais est le plus petit possible.

Le raisonnement est le suivant.
J'appelle p le "pas".
Soit X l'étage "élu". 

On a X = np+q.
Le nombre d'essais pour le détecter est le suivant :
si q>0, alors NbEssais = (n+1)+q ;
Si q=0, alors NbreTry = n+p-1.

Exemple : X = 65.
Si le pas est fixé à 5, on a X=13*5 => NbEssais = 13 +4 = 17
Si le pas est fixé à 6, on a 65 = 10*6 +5 => NbEssais = 11 +5 = 16
Si le pas est fixé à 7, on a X=9*7 + 2 =>NbEssais = 10 +2 = 12
Si le pas est fixé à 8, on a X=8*8 + 1 => NbEssais = 9 +1 = 10

Pour chaque pas, on calcule, pour X compris entre 1 et 100, le nombre d'essais, on divise la somme par 100 pour avoir le nombre moyen. Ce faisant, on suppose que la proba que chaque étage soit le bon = 1 % (distribution uniforme).
On retient le pas qui correspond à la moyenne la plus faible.

Par cette méthode, soluble sous Excel, on trouve que le pas optimal est égal à 10.  Dans les deux cas, le nombre minimal moyen d'essais est égal à 10,9  (et l'écart type est aussi le plus petit = 3,98).
C'est de plus une stratégie optimale selon le critère "moyenne-variance".

@+

Ernst

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Bonjour,

Voici la méthode qui avait développée par notre prof d'éco, bon matheux, spécialiste des calculs de Probas

???

▼indice

Pour montrer que sa méthode n'est pas optimale, il suffit sans rien changer d'autre de réduire la plage 90-100 (qui nécessite encore neuf lâchers dans le pire des cas) par une plage 90-95 (qui n'en nécessite plus que cinq dans le pire des cas).

Le nombre minimum de lancers est de 10,3 en moyenne en répartissant intelligemment les intervalles.

▼solution

Il vaut mieux consacrer de plus grands intervalles au début, on peut se le permettre grâce à l'économie des étages suivants, et réduire l’intervalle des étages supérieurs qui coûtent chers pour les rendre plus rares, exemple avec des distributions comme 13, 25, 36, 46, 55, 64, 72, 79, 85, 90, 94, 97 ou 13, 26, 38, 49, 59, 68, 75, 82, 88, 92, 95, 97, 98.

Voilà qui tend à confirmer l'adage comme quoi ceux qui savent faire font, et ceux qui ne savent pas enseignent. ;-)

Michel Coste

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Bonjour,
Avec  19, 36, 51, 64, 75, 84, 91, 96, 99 pour la première boule, on arrive à un tout petit peu moins de 10 essais en moyenne (9,99 pour être précis).
Exemple : en conditionnant par "le n° d'étage fatidique est >64 et <= 75", le nombre moyen d'essais pour trouver ce n° est 
$$ 5 + \frac 1{75-64}\times \frac{(75-64-1)(75-64)}2 =10\;.$$
P.S. Erreur dans mon calcul ! Je reprends après déjeuner, en essayant de poursuivre l'idée : conditionner par tranches pour la valeur de la variable aléatoire, en visant la moyenne 10 pour chaque tranche.

Dernière modification par Michel Coste (11-07-2026 11:41:21)

verdurin

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Bonjour,
il y a en effet une erreur dans le calcul de Michel Coste. Avec cette série je trouve une moyenne de 10,89 lancers, ce qui est exactement le résultat que l'on obtient en lançant la première boule tous les onze étages ( ou tous les neuf ).

À Ernst : comment es tu certain que le minimum est bien celui que tu donnes ?

Michel Coste

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Bon, il semble que ça ne marche pas mieux. Plus ça va et moins je crois au sérieux de la réponse "10".

verdurin

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Je dois avouer que j'ai aussi du mal à y croire après avoir pas mal cherché.
Il reste encore la force brute d'un programme d’exploration de toutes les suites $a_k$ possibles. Mais je ne vois aucun raisonnement menant même à 10,3.
En tâtonnant j'étais arrivé à 10,31.
Ernst est arrivé à 10,30 ce qui est mieux.
Mais je ne vois même pas comment prouver un tel résultat en dehors de la force brute. Et j'ai la flemme de m'y coller.

[edit] Il n'y a pas que de la flemme, il y a aussi de l'incompétence.

Dernière modification par verdurin (11-07-2026 17:08:43)

Ernst

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Il reste encore la force brute d'un programme d’exploration de toutes les suites $a_k$ possibles.

Hello verdurin,

Oui, c'est bien cela, exploration exhaustive.

En fait peu importe la stratégie imaginée, elle se réduit toujours à une liste d'étages où l'on teste la première boule (par exemple [14, 27, 39, ...]) puis à une recherche linéaire entre deux tests consécutifs quand la première boule casse. Donc l'ensemble des stratégies possibles est l'ensemble de toutes les sous-listes croissantes d'étages entre 1 et 100. C'est un espace fini, dénombrable, et le programme va le parcourir entièrement.

Il met en jeu la programmation dynamique. Concrètement, le programme calcule d'abord le meilleur coût pour atteindre chaque étage avec 1 seul test, puis avec 2 tests en essayant tous les étages intermédiaires possibles, puis avec 3 tests, et ainsi de suite en s'appuyant sur les résultats précédents. À chaque étape et pour chaque état (étage atteint, nombre de tests utilisés) il essaie tous les prédécesseurs possibles et en garde un record. Aucun étage intermédiaire n'est jamais écarté sans avoir été comparé aux autres.

Le programme fait deux calculs indépendants, un calcul théorique par récurrence (rapide, basé sur des formules) et une simulation, pour chaque seuil de 1 à 100 il applique la stratégie trouvée et les deux résultats doivent coïncider. Ce n'est pas une approximation, c'est bien équivalent à essayer toutes les combinaisons, mais considérablement plus vite grâce à la mémorisation des résultats intermédiaires. La séquence [13, 25, 36, 46, 55, 64, 72, 79, 85, 90, 94, 97] avec une moyenne de 10,30 lancers est donc bien un minimum (il y en a d'autres, le programme ne conserve que les premiers records), et pas seulement un bon résultat.

Ernst

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Re : Lancer de 2 boules de verre

Bonjour,

Je suis en train de m'amuser à estimer le nombre de solutions aboutissant à la moyenne de 10,30 et j'en suis à plus de 6000, toutes différentes, avec des longueurs de 12 à 14 étapes. Soit dit en passant, je suis impressionné par les résultats de verdurin qui a trouvé quasiment le minimum alors que ce n'était pas évident, chapeau.

Allez, genèse de l'histoire :

- dans un premier temps, quand je lis la solution proposée, je vois bien que le dernier intervalle n’est pas bon puisqu’en prenant la moitié on est sûr de gagner quelque chose

- je fais alors un programme de simulation de moyenne pour voir si réduire progressivement les intervalles précédents permet de gagner encore plus, ce qui est le cas

- l'assistant numérique (ici Qwen) me dit qu'avec 100 étages pas besoin de simulation, il est possible de calculer exactement le résultat pour chaque étage de façon précise et immédiate

- quand il analyse ensuite mes résultats, il me propose d'améliorer en réduisant les derniers intervalles vers la limite supérieure ; je lui dis ne pas comprendre cette logique, il me dit que c’est parce qu’ils sont plus rares

- je lui dis que non, qu’ils sont équiprobables, là il me dit que comme ils coûtent beaucoup plus chers, il valait mieux les réduire pour les rendre plus rares (intéressant que voir que sa formulation était corrélée à la réduction proposée alors dans ma tête j’en étais à un pas constant que je n’ai pas précisé en parlant d’équiprobabilité)

- logique imparable, effectivement plus j'augmente les essais pour améliorer, plus la moyenne se réduit, je lui montre la progression
- il me dit qu’il est même possible d’avoir un résultat exact grâce la programmation dynamique, je lui dis ok, et là pof, il me sort instantanément une solution à 10,30

- je vérifie, c’est juste, alors je lui demande un programme, il me l'écrit, et ce programme fonctionne du premier coup

- puisque que je connais la solution, j'augmente mes tâtonnements pour voir si j’aurais trouvé la même en continuant, et là surprise, j'en trouve également d'autres à 10,30

- donc je lui demande s’il est possible, en programmation dynamique, de conserver tous les records, et deux minutes plus tard re-pof, j’en ai plus de 6000 de différentes longueurs

- j’en profite pour lui demander comment être sûr que c’est le minimum, c’est là qu’il me sort Bellman...

Moralité ? Il n'y en a pas, mais une chose est sûre, il n’y avait aucunement besoin de numérique pour se rendre compte que l’optimum proposé n’en était pas un.

verdurin

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Re : Lancer de 2 boules de verre

À Ernst,
merci beaucoup pour tes réponses détaillées même si elles me déçoivent en un sens. J'espérais un raisonnement que je n'aurais pas vu.

Personnellement j'ai fait une feuille de calcul sur tableur avec une erreur dans la première version, dont j'ai mis du temps à me rendre compte.
Il m'a semblé évident depuis le début qu'un pas constant ne peut pas être optimal car les derniers étages demandent plus de lancers.
Il faut donc diminuer la taille des tranches quand on monte.