Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

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Autour d'un nombre entier n quelconque...

Bonjour,

Encore un niveau ***
Écrire un nombre n quelconque à l'aide du nombre 2 et de symboles mathématiques.

@+

verdurin

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Bonsoir

▼Texte caché

$ n=\underbrace{\frac22+\dots+\frac22}_{n \text{ termes}}$

yoshi

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Re,

@verdurin
1. Tu es le bienvenu avec nous...
    Bien sûr, ça marche (pouvait-il en être autrement ?).

2. Mais !...
Je. m'étais longuement demandé avant publication, si je ne devrais pas, au lieu de "du nombre 2", plutôt écrire : "d'un seul nombre 2"...
J'avais pensé que écrire du nombre 2 = contraction de "de le" nombre 2 suffisait...
J'ai eu tort.

Cela dit, ta solution est effectivement bonne, mais elle trop simple pour que je puisse coter cette énigme comme méritant 3 étoiles... Tu as dû être déçu (3 étoiles pou des connaissances niveau 5e nécessaires !... Bah, ce n'est que partie remise...)
Avec la rectification "un seul nombre 2", elle nécessite les connaissances des ex Mathelem, TC, et autres TS...
Je te prie d'accepter mes excuses...
Parce que, je ne souviens plus - c'est très loin... - d'où sortait cette énigme et surtout sa solution que personne n'avait trouvée (et moi en particulier, bien que j'aie été pas mauvais en Mathelemem : 4e accessit de mathématiques dans une classe de 39 avec à cette époque 9 h de maths / semaine !!), un professeur que  l'on savait, sortie 4e de Normale Sup, et par la suite devenue IPR) mais que moi, par hasard et donc tout à fait involontairement, au cours d'autres recherches sans rapport, j'étais tombé dessus...

Mais je n'en ai que trop dit...

Je m'étais donc empressé d'en faire part en précisant bien que je n'aurais jamais trouvé ça tout seul...
La réponse attendue avait franchement épaté mes petits camarades...
Les term d'aujourd'hui avec spécialité maths (maths complémentaires ?) je ne sais pas, il faudrait que je consulte les BO...

Quand tu auras la solution si tu penses à une autre formulation que "un seul nombre 2" je suis preneur...

@+

verdurin

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Bonsoir yoshi,
je me doutais un peu qu'il fallait avoir un minimum de 2.
Mais que ce minimum soit un me sidère.
Je ne vois vraiment pas comment faire.

yoshi

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Bonjour verdurin,

Je suis d'accord avec toi : quand nous avions découvert la solution, nous avions ressenti une forme de stupéfaction...

Je vais te glisser un indice, pas te donner la solution : ce serait  faire injure à quelqu'un de ton calibre mathématique (ne vois pas là vile flatterie mais ce que je pense réellement).

La clé passe par l'emploi de

▼ ... :

$\log_2()$ (mais pas que...) d'où mon questionnement sur le programme des terminales avec option math d'aujourd'hui.

Évidemment, je m'étais fait aussitôt une objection (d'où d'ailleurs la demande que je t'ai adressée la dernière phrase de ma réponse précédente.
J'avais très vite trouvé une réponse :
ce 2 fait partie d'une notation, d'un symbole mathématique. Il aurait suffit qu'on pose comme notation : on note par logd le log à base 2, et on ne verrait plus ce 2 (cachez ce 2 que ne ne saurais voir... ^_^).
La formule attendue  est trop belle, même si cette histoire de 2 dans $\log_2()$ me dérange un peu quand même...

Bonne chance...

@+

bridgslam

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Bonjour,

L'entier n à exprimer peut-il être négatif?
Bon dimanche...

yoshi

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Bonjour,

Non, c'est un entier naturel...
Dans le cas contraire, la formule ne peut pas être utilisée...
C'est une très bonne question...
Je ne sais pas à quoi tu as pensé, mais la réponse que je t'ai donnée t'offre une sacrée piste...

@+

bridgslam

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Bonjour,

J'avais pensé à:

▼pourquoi pas

$log_2( (n+1)/(n+1)+ (n+1)/(n+1))^n$
A vrai dire sans mentionner n du tout cela ne me saute pas aux yeux...
De plus n n'aurait pas nécessité d'être entier...
J'en déduis que l'expression ci-dessus va retourner dans ses foyers...

Est-il permis d'utiliser une variable x muette parmi les symboles lathématiques?

Dernière modification par bridgslam (06-07-2026 07:19:21)

yoshi

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Re,

Genre $\frac x x$ ?
Bin... ce n'est pas exclu par l'énoncé.
Par contre, je peux te dire que "ma" formule n'en utilise pas !

▼ Conseil...

Avec le seul symbole auquel tu as pensé, ce ne sera pas suffisant, donc creuse encore ma réponse #7 : entier naturel obligatoire, sinon "ma" formule ne marche pas...

@+

bridgslam

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Bonsoir,

Je serai déçu si la solution se présentait comme ceci:

▼ texte caché

Voici une expression où 2 n'apparait qu'une fois , et l'expression est lisible mathématiquement :
$n=log_2 ( Card \{0,1\}^{[[1,n ]]})$.

Ce serait bien se compliquer la vie...
Elle a néanmoins le mérite de fonctionner aussi pour n nul.

Dernière modification par bridgslam (05-07-2026 21:20:10)

yoshi

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Re,

Non, ce n'est pas ça ...

▼ Pense à un autre symbole mathématique que...

l'on voit en 3e et qui n'apprécie pas non plus les nombres négatifs ?
C'est la 2e clé... Tu dois te servir des 2 clés...

Je n'ai jamais écrit que la formule n'était pas une façon de se compliquer la vie : utiliser une formule  pour écrire un entier naturel quelconque en utilisant une seule fois le nombre 2, n'est-ce pas comme  vouloir écosser des petits pois en mettant des gants de boxe ?
Mais cette formule quelle qu'elle soit est brillante, astucieuse,  et à laquelle je n'aurais jamais pensé tout seul... Mais la chercher et la trouver est un redoutable défi... inutile, certes, mais quel remue-méninges !!!

@+

bridgslam

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Re,

▼?

$n=log_2( \sqrt{4^n})$

Là mes batteries seront vides pour 1 semaine...

bridgslam

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Bonjour,

Et voici sortie de mon escarcelle  deux expressions niveau début 5 ième.

▼incroyable

n=n-3+2+1=2n-n
Si on se permet le symbole 4, pourquoi pas 3 et 1?
Aurais-je loupé un truc?
Et cela couvre le cas de tous les entiers en bonus.

Dernière modification par bridgslam (06-07-2026 07:22:30)

yoshi

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Salut,

post #13 : et j'aurais coté 3 étoiles,un truc niveau 6e/5e ?
post #12, tu as bien identifié la 2e clé...

Je ré-su-me  : 
- "un seul nombre 2". Dans la formule, n'est utilisé que le nombre 2 (et un seul)
- pas d'autre nombre...

Par contre,  dans la démo complète que la formule donne bien n quelle que soit la valeur de cet $n \in \mathbb N^*$, il apparaît une fois par maillon de la chaîne de calculs qu'on ne peut pas faire si on n'a pas le niveau de la Term où apparaît ce symbole, cette fonction (clé 1) : il faut en connaître les propriétés...

▼Tu disposes maintenant des 2 clés,

à savoir $\log_2()$ et $\sqrt{()}$...

Ne te disperse pas en cherchant ailleurs... A toi de les utiliser, de les combiner...

Quand tu rendras les armes, fais-moi signe, hein ? Bon, tu peux prendre ton temps, je ne suis pas pressé...

@+

Dernière modification par yoshi (06-07-2026 09:17:18)

bridgslam

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Bonjour,

Merci pour la patience ,

Une fois l'écheveau de l'énoncé de départ dégrossi, et afin d'être sûr de comprendre, je résume:

- l'expression ne fournit que les entiers naturels, inapplicable pour les négatifs non nuls.
- 2 est le seul nombre à intervenir dans l'expression et une unique fois.
- on n'utilise que des symboles mathématiques

Merci de confirmer ces contraintes de base, la question sera alors (pour moi au moins) plus claire...

Bonne journée

yoshi

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Re,

Un grand  OUI; YES, YA, DA ...

Relis mon post #14

Patience ?
Я рад, когда я помогаю

1. Normal... Faut bien que j'assure le SAV ^_^
2. En début d'année : je tenais ce ce discours à mes élèves:
"Surtout, questionnez, tant que vous n'êtes pas satisfaits de la réponse...
Mais pour être franc, je ne vous garantis pas qu'au bout de la 10e fois, je ne pousserai pas une gueulante...
Dans ce cas, abritez-vous, laissez passer l'orage..
Reposez alors votre question une 11e fois : je vous répondrai..."

@+

Dernière modification par yoshi (06-07-2026 09:43:54)

bridgslam

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

L'orage, c'est une douche froide, en plus joli.
Par les temps qui courent  on n'a rien à perdre...
Je ne connais pas le russe.
Il y un moment  je m'étais mis à la Fraktur, plus proche de mon cursus dès la 6 ième... et utilisée par Gauss en dehors de ses correspondances en latin... Mais sans aucun n'intérêt aujourd'ui.

yoshi

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Ave,

le nombre n (et une seule fois) apparaît (et une seule fois) avec une accolade basse

▼ comme ceci

$\underbrace{..................}_{n fois}$

Désolé pour le Russe, j'ai cru que c'était toi qui parlait Russe ici.
Alors, je traduis : Je suis content quand j'aide...
Réminiscence des leçons de Russe avec la méthode Assimil...
Javais tâté de l'Allemand et capitulé quand il a fallu apprendre les déclinaisons...
Alors, j'étais passé au Russe...
Et boum ! Même motif, même punition...
Quelques années plus tard, lassé de leur rengaine : << C'est normal que vous savez faire : vous êtes prof de Maths >>, j'avais répondu qu'ils inversaient cause et conséquence, qu'apprendre, ça s'apprenait...
Comme ils ne comprenaient pas (ou ne voulaient pas), j'avais parié avec eux, que n'ayant jamais appris le Latin, j'irai l'apprendre avec eux l'année suivante si leur prof voulait bien de moi et que nos horaires coïncident...
Et un peu inconscient, j'avais ajouté : << Et ce sera pas pour vous regarder devant moi, mais derrière !
Stupeur dans ces chères "petites têtes blondes"...
Rentrée de septembre  : le Principal avait pu faire coïncider 1 h, ma collègue s'était montré ravie de m'accueillir...
C'est alors que 2 de mes anciens m'avaient abordé avec un air gourmand : << Bonjour M. ? Vous avez oublié votre promesse ?... Nous, pas ! >>
Ma réponse << Je serai avec vous, lundi prochain ! >>. leur en avait bouché un coin !
Mon dimanche matin était consacré au Latin.
J'étudiais seul le chapitre suivant du manuel, je faisais tous les exos du  chapitre et les sonnais, avec son accord à ma collègue...
Bon, ça avait été plus difficile que prévu : j'étais poursuivi : en Latin, il y a aussi des déclinaisons...
Si je n'étais pas toujours devant tous les élèves même les meilleurs, je n'étais pas loin...
Et j'avais acquis une paix royale...

Un jour, j'avais eu la surprise de voir 2 élèves m'aborder, pas gênés pour deux sous :
<< M. On sait que vous avez déjà fait les exercices de Latin. Nous, on n'a pas eu le temps, on avait trop de travail... Vous pouvez nous les passer ? >>
Refus avec un grand sourire... Ils ne m'en avaient pas tenu rigueur  !
Ça reste un bon souvenir !
L'année suivante, il m'avait été techniquement impossible de continuer une 2e année...

@+

bridgslam

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Je crois que c'est Borassus qui connait cette langue-là.
A+

yoshi

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Ave,

Oui...
Ça m'est revenu depuis...

@+

Bernard-maths

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

n=2^(:-)

yoshi

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Re,

Alors, là... Je crains d'imiter la Vénus de Milo...
Très très fort ^_@^.
On m'avait proposé une solution trouvable en 6e/5e...
Record battu... Trouvable en CM2 !

Toute la communauté Bibmath se leva comme (un seul homme)... Non, non, expression qui pourrait être taxée de sexisme ! Alors comme un seul être humain, t'applaudit à tout rompre et scanda son nom en un concert assourdissant :
Ber-nard ! Ber-nard ! Bernard !...

C'est alors qu'un petit malin profitant d'un instant de silence -relatif - (faut bien reprendre son souffle) entonna à pleins poumons (et il avait du coffre, le bougre) d'une voix de stentor : Ber-nard Président ! Ber-nard Président ! Ber-nard Président !
Et la foule  suivit, enthousiaste... Beaucoup d'ailleurs se demandèrent comment ils n'y avaient pas pensé avant !
Bientôt Bernard ne sut plus où donner de la tête, croulant sous les promesses de vote écrites, assailli par les amateurs d'autographe...

Bernard n'eut plus le choix, la pression était trop forte : son avenir était tout tracé ; il devait se laisser porter par son destin...

@+

Bernard-maths

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Merci pour cette reconnaissance ... un peu tardive quand même ...

Mais je ne veux pas être président !

A la rigueur dictateur mais ... mondial, car je ne veux pas souffrir d'opposants éventuels !

@+ B-m

Bernard-maths

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

J'ai bien vu la video "Le monde en plis : code Origami"

Les perspectives sont hallucinantes, l'Univers est fantastique de possibilités ...

B-m

J'ai lancé :

https://vimeo.com/ondemand/314118

Dernière modification par Bernard-maths (08-07-2026 06:56:44)

yoshi

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Re : Autour d'un nombre entier n quelconque...

Re,

Tiens, un lien que m'avait fourni ma fille et que j'avais honteusement zappé :
http://www.rfi.fr/emission/20160320-une … ami-papier
On n'arrête pas le progrès...

Des fois que ça t'inspire !

@+