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yoshi

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Amateur de puissances, voilà de quoi rire un peu

Bonjour,

Encore exhumé des Archives (2008 était un bon cru).
Pour ce faire, je me suis équipé façon Gaston Lagaffe...

Bon, voilà :
Quels sont les dix derniers chiffres de l'écriture de 2^(3^(4^(5^(6^(7^(8^9)))))) ?

@+

Michel Coste

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Re : Amateur de puissances, voilà de quoi rire un peu

Bonjour

▼Texte caché

Soit $n$ la tour d'exponentielles, on cherche $n=2^a \bmod 10^{10}$. Comme $a$ est énorme, on aura $2^a=0 \bmod 2^{10}$. On cherche $2^a\bmod 5^{10}$. Le groupe des inversibles modulo $5^{10}$ est d'ordre $4\times 5^9$, on peut donc remplacer $a$ par $a= 3^b \bmod 4\times 5^9$. Le groupe des inversibles  modulo $4\times 5^9$ est d'ordre $8\times 5^8$., on peut donc remplacer $b$ par $b=4^c \bmod 8\times 5^8$. Comme $c$ est énorme, on aura $b = 0\bmod 8$. On cherche $4^c\bmod 5^8$. Le groupe des inversibles modulo $5^8$ est d'ordre $4\times 5^7$. On peut donc remplacer $c$ par $c= 5^d \bmod 4\times 5^7$. On a $5^d = 1 \bmod 4$ et $5^d=0\bmod 5^7$ car $d$ est énorme. Donc $c=5^7 \bmod 4\times 5^7$. Donc $b=4^{5^7}=390624  \bmod 8\times 5^8$. Donc $a=3^{390624}=5765981 \bmod 4\times 5^9$. Donc $n=2^{5765981}=6277852\bmod 5^{10}$. Par reste chinois on en déduit $n=8170340352 \bmod 10^{10}$. Les 10 derniers chiffres de $n$ sont 8170340352.

Dernière modification par Michel Coste (28-06-2026 22:29:16)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Amateur de puissances, voilà de quoi rire un peu

Bonsoir,

Michel lui, ne prend même pas le temps d'en rire...
Il sifflote "Le pont de la Rivière Kwaï", distraitement, tout en écrivant la solution.
Quel homme, quel penseur ! ^_^
Ah, si Rodin vivait à notre époque, nul doute que Bibmath l'aurait inspiré pour son choix de modèle...

Il va falloir que je trouve autre autre chose que ces broutilles...

@+

Michel Coste

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Re : Amateur de puissances, voilà de quoi rire un peu

En fait, pas beaucoup d'imagination pour cette énigme, plutôt des réflexes nés d'une longue habitude et un peu de soin dans l'exécution;