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cailloux

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Fonction définie sur un cercle

Bonjour,
Je tenais à partager avec vous un exercice que m'a soumis un ami virtuel, Maître Géomètre.
Est donné un cercle $\Gamma$ de diamètre $[PQ]$ ainsi que deux points $A$ et $B$ intérieurs au cercle.
On cherche les extrema de la fonction $f\,:\,\Gamma\rightarrow \mathbb{R}$ définie par $M\mapsto MA+MB$ :
1) Discuter le nombre de ces extrema et les construire lorsque $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à $[PQ]$.

2) Même question lorsque $A$ et $B$ sont quelconques.
Un exemple avec deux extrema (il peut y en avoir davantage) :

Commentaires : la question 1) est accessible a un bon élève de terminale. La seconde est un peu plus délicate.
Dans tous les cas, des calculs sont indispensables mais il est nécessaire de les interpréter pour revenir à la géométrie et à des constructions.

Dernière modification par cailloux (08-06-2026 13:53:48)

Bernard-maths

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonjour à tous ! Bonjour cailloux (!)

C'est amusant à construire, et assez facile avec GeoGebra.

Peut-on faire de même avec un carré... une sphère, un cube ... ?

Bon amusement ...

Benard-maths

cailloux

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonjour Bernard-maths,
Avant de se lancer ailleurs (le cas du carré est simple), il faut commencer par résoudre proprement ce problème.
En l'occurrence, GeoGebra est une aide mais ne "construit" rien. Dans ce forum de belle géométrie, il faut s'entendre sur ce que signifie le verbe construire$\cancel{!}$
Limitons nous à la question 1) (je ne me fais pas d'illusions pour la 2)) : GeoGebra nous permet de constater qu'on peut avoir 2 ou 4 extrema. Il est demandé de "discuter".
Autrement dit dans quels cas a-t-on 2 ou 4 extrema  ? Et les construire (dans le cas 4) avec règle et compas.
Je me permets de citer mon Maître :

Ce problème est un délicieux mélange d'Analyse et de Géométrie ...

Dernière modification par cailloux (16-06-2026 12:16:00)

cailloux

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonjour,
Une figure pour suggérer quelques résultats où, bien sûr, tout est à justifier :

Michel Coste

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonjour,
Un démarrage (je ne sais pas s'il mène facilement au but, faute de temps pour réfléchir) : quels sont le points $M$ du cercle tels que la droite $OM$ soit la bissectrice intérieure de l'angle formé par les demi-droites $[MA)$ et $[MB)$ ?

cailloux

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonjour Michel Coste,
Tout à fait. Autrement dit, tu comptes chercher les points de contact des ellipses de foyers $A$ et $B$ tangentes au cercle $\Gamma$.
Deux ellipses (points de contact $P$ et $Q$) existent toujours. La troisième dépend des circonstances.
Bien sûr une phase de petits calculs est nécessaire avant de revenir à la Géométrie.

cailloux

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonjour,
Il s'agit donc, pour cette question 1) de déterminer les points de contact des ellipses de foyers $A$ et $B$ tangentes au cercle $\Gamma$.
Ou encore, comme l'a précisé Michel Coste, de déterminer les points $M$ du cercle $\Gamma$ pour lesquels $(MO)$ est la bissectrice de l'angle $(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})$.
On identifie le cercle $\Gamma$ au cercle trigonométrique sans perte de généralité.
On peut procéder par calculs cartésiens avec $A(-a,b)$, $B(a,b)$ et $M(\cos\,t,\sin\,t)$.
J'ai abouti plus ou moins péniblement à cette équation (je ne m'y suis peut-être pas pris de la meilleure manière qui soit) :
$$\cos\,t[(a^2+b^2)\sin^2t-b(a^2+b^2+1)\sin\,t+b^2]=0$$
Sans surprise, l'équation $\cos\,t=0$ correspond aux points de contact $P$ et $Q$.
L'équation du second degré en sinus donne :
- $\sin\,t=b$ qui correspond à l'intersection de $(AB)$ avec le cercle $\Gamma$. C'est une solution parasite qui provient de la manière dont j'ai mené les calculs.
- $\sin\,t=\dfrac{b}{a^2+b^2}$. C'est cette solution qui nous intéresse. On peut remarquer, pour une interprétation géométrique ultérieure, une similitude avec l'expression analytique de l'inversion déterminée par le cercle $\Gamma$.
Mais il est beaucoup plus simple et élégant (oui, des calculs peuvent être élégants) de procéder, à la manière d'un Rescassol, avec des calculs en complexes.
Les points $A$, $B$ et $M$ ont pour affixes $a$, $b=-\bar{a}$ et $m$ avec $|m|=1$.
Un préalable avec une figure :

Dire que $(MO)$ est la bissectrice de $(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})$ revient à dire que $A$, $M$ et $B'$ (symétrique de $B$ par rapport à la tangente au cercle $\Gamma$ en $M$) sont alignés.
L'écriture complexe de la symétrie d'axe $T_M$ est $z'=-m^2\overline{z}+2m$ (à prouver éventuellement).
Donc $b'=m^2a+2m$
Il reste à écrire que le rapport $\dfrac{m-b'}{m-a}$ est réel compte tenu que $m\bar{m}=1$
On tombe sans difficulté sur l'équation :
$$(m+\overline{m})\left[m^2+\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{\overline{a}}\right)m-1\right]=0$$
Comme de juste l'équation $m+\overline{m}=0$ ($m$ imaginaire pur et de module 1) correspond aux points de contact $P$ et $Q$
De l'équation du second degré, on tire :
$\Im (m)=\dfrac{m-\overline{m}}{2i}=\dfrac{m^2-1}{2im}=\dfrac{\dfrac{1}{\overline{a}}-\dfrac{1}{a}}{2i}$
$$\Im(m)=\Im\left(\dfrac{1}{\overline{a}}\right)$$
La droite définie par les inverses $A'$ et $B'$ de $A$ et $B$ par rapport au cercle $\Gamma$, si elle est sécante avec ce cercle, donne donc les points de contact $M_1$ et $M_2$.
Pour que ces points d'intersections (distincts) existent, il faut que $-1<\Im\left(\dfrac{1}{\overline{a}}\right)<1$
Un minuscule calcul montre que $A$ (et donc $B$) doivent être extérieurs aux cercles de diamètres $[OP]$ et $[OQ]$ :

Reste la question 2) ($A$ et $B$ quelconques) où il n'est plus question de construction géométrique. 
Les mêmes calculs permettent d'aboutir aux intersections d'une hyperbole équilatère et du cercle $\Gamma$.

Dernière modification par cailloux (01-07-2026 10:01:00)

Michel Coste

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonsoir,
Le lieu des points $M$ tels que $(MO)$ soit une bissectrice de l'angle formé par $(MA)$ et $(MB)$ est une cubique cyclique passant par $A,B,O$. Lorsque $O$ est sur la médiatrice de $A$ et $B$, cette cubique dégénère en la réunion de cette médiatrice et du cercle passant par $A,B,O$.

cailloux

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonjour,
Que les points $O,A,B,M_1,M_2$ soient cocycliques n'est pas une surprise : le cercle $OAB$ est l'homologue de la droite $(A'B')$ dans l'inversion définie par le cercle $\Gamma$.
Plutôt qu'une cubique, Je préfère pour 2) une hyperbole équilatère qui dégénère, lorsque $O$ est sur la médiatrice de $[AB]$, en la réunion de cette médiatrice et de la droite $(A'B')$.

Dernière modification par cailloux (27-06-2026 06:57:36)

Michel Coste

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Re : Fonction définie sur un cercle

Pour jouer : GeoGebra

Moi, je préfère la cubique : elle ne dépend pas du cercle de centre O. Comme cette cubique passe par les points cycliques, son intersection avec n'importe quel cercle est bien sûr l'intersection de  ce cercle avec une conique dépendant du cercle.

cailloux

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonjour,
Une figure où sont superposées la cubique de Michel Coste et l'hyperbole équilatère bien sûr homologues dans l'inversion définie par le cercle $\Gamma$ :

Un autre cas de dégénérescence survient lorsque $O,A,B$ sont alignés.
Extrema sur un cercle

Dernière modification par cailloux (29-06-2026 14:03:27)

cailloux

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonjour à tous,
Une question que je me pose et à laquelle je n'ai pas de réponse :
Condition(s) sur $A$ et $B$ pour qu'il y ait exactement 3 extrema ?
Autrement dit, condition(s) sur $A$ et $B$ pour que la cubique et l'hyperbole soient tangentes au cercle $\Gamma$ ?

Dernière modification par cailloux (02-07-2026 10:25:14)

cailloux

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonjour,
La dernière question est probablement calculatoire.
Sur la figure suivante, sauf erreur de ma part toujours possible, $A$ étant fixé, on peut voir le lieu de $B$ (la partie intérieure à $\Gamma$) pour qu'il y ait exactement 3 extrema.
Remarquer l'ellipse de foyers $A$ et $B$ passant par le point double $M_1$ osculatrice à $\Gamma$

Pas folichon ...
[Edit] Modifié la figure pour y ajouter la cubique.

Dernière modification par cailloux (21-07-2026 13:20:32)

Michel Coste

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonjour,

Condition(s) sur $A$ et $B$ pour qu'il y ait exactement 3 extrema ?

Réponse calculatoire (merci SageMath !) où xA, yA (resp. xB, yB) sont les coordonnées de A (resp. B) dans un repère orthonormé où le cercle est le cercle unité :
64*xA^6*xB^6 + 192*xA^4*yA^2*xB^6 + 192*xA^2*yA^4*xB^6 + 64*yA^6*xB^6 + 192*xA^6*xB^4*yB^2 + 576*xA^4*yA^2*xB^4*yB^2 + 576*xA^2*yA^4*xB^4*yB^2 + 192*yA^6*xB^4*yB^2 + 192*xA^6*xB^2*yB^4 + 576*xA^4*yA^2*xB^2*yB^4 + 576*xA^2*yA^4*xB^2*yB^4 + 192*yA^6*xB^2*yB^4 + 64*xA^6*yB^6 + 192*xA^4*yA^2*yB^6 + 192*xA^2*yA^4*yB^6 + 64*yA^6*yB^6 - 48*xA^6*xB^4 - 144*xA^4*yA^2*xB^4 - 144*xA^2*yA^4*xB^4 - 48*yA^6*xB^4 - 96*xA^5*xB^5 - 192*xA^3*yA^2*xB^5 - 96*xA*yA^4*xB^5 - 48*xA^4*xB^6 - 96*xA^2*yA^2*xB^6 - 48*yA^4*xB^6 - 96*xA^4*yA*xB^4*yB - 192*xA^2*yA^3*xB^4*yB - 96*yA^5*xB^4*yB - 96*xA^6*xB^2*yB^2 - 288*xA^4*yA^2*xB^2*yB^2 - 288*xA^2*yA^4*xB^2*yB^2 - 96*yA^6*xB^2*yB^2 - 192*xA^5*xB^3*yB^2 - 384*xA^3*yA^2*xB^3*yB^2 - 192*xA*yA^4*xB^3*yB^2 - 144*xA^4*xB^4*yB^2 - 288*xA^2*yA^2*xB^4*yB^2 - 144*yA^4*xB^4*yB^2 - 192*xA^4*yA*xB^2*yB^3 - 384*xA^2*yA^3*xB^2*yB^3 - 192*yA^5*xB^2*yB^3 - 48*xA^6*yB^4 - 144*xA^4*yA^2*yB^4 - 144*xA^2*yA^4*yB^4 - 48*yA^6*yB^4 - 96*xA^5*xB*yB^4 - 192*xA^3*yA^2*xB*yB^4 - 96*xA*yA^4*xB*yB^4 - 144*xA^4*xB^2*yB^4 - 288*xA^2*yA^2*xB^2*yB^4 - 144*yA^4*xB^2*yB^4 - 96*xA^4*yA*yB^5 - 192*xA^2*yA^3*yB^5 - 96*yA^5*yB^5 - 48*xA^4*yB^6 - 96*xA^2*yA^2*yB^6 - 48*yA^4*yB^6 + 12*xA^6*xB^2 + 9*xA^4*yA^2*xB^2 - 18*xA^2*yA^4*xB^2 - 15*yA^6*xB^2 + 48*xA^5*xB^3 + 96*xA^3*yA^2*xB^3 + 48*xA*yA^4*xB^3 + 72*xA^4*xB^4 + 150*xA^2*yA^2*xB^4 + 78*yA^4*xB^4 + 48*xA^3*xB^5 + 48*xA*yA^2*xB^5 + 12*xA^2*xB^6 - 15*yA^2*xB^6 + 54*xA^5*yA*xB*yB + 108*xA^3*yA^3*xB*yB + 54*xA*yA^5*xB*yB + 48*xA^4*yA*xB^2*yB + 96*xA^2*yA^3*xB^2*yB + 48*yA^5*xB^2*yB - 12*xA^3*yA*xB^3*yB - 12*xA*yA^3*xB^3*yB + 48*xA^2*yA*xB^4*yB + 48*yA^3*xB^4*yB + 54*xA*yA*xB^5*yB - 15*xA^6*yB^2 - 18*xA^4*yA^2*yB^2 + 9*xA^2*yA^4*yB^2 + 12*yA^6*yB^2 + 48*xA^5*xB*yB^2 + 96*xA^3*yA^2*xB*yB^2 + 48*xA*yA^4*xB*yB^2 + 150*xA^4*xB^2*yB^2 + 300*xA^2*yA^2*xB^2*yB^2 + 150*yA^4*xB^2*yB^2 + 96*xA^3*xB^3*yB^2 + 96*xA*yA^2*xB^3*yB^2 + 9*xA^2*xB^4*yB^2 - 18*yA^2*xB^4*yB^2 + 48*xA^4*yA*yB^3 + 96*xA^2*yA^3*yB^3 + 48*yA^5*yB^3 - 12*xA^3*yA*xB*yB^3 - 12*xA*yA^3*xB*yB^3 + 96*xA^2*yA*xB^2*yB^3 + 96*yA^3*xB^2*yB^3 + 108*xA*yA*xB^3*yB^3 + 78*xA^4*yB^4 + 150*xA^2*yA^2*yB^4 + 72*yA^4*yB^4 + 48*xA^3*xB*yB^4 + 48*xA*yA^2*xB*yB^4 - 18*xA^2*xB^2*yB^4 + 9*yA^2*xB^2*yB^4 + 48*xA^2*yA*yB^5 + 48*yA^3*yB^5 + 54*xA*yA*xB*yB^5 - 15*xA^2*yB^6 + 12*yA^2*yB^6 - xA^6 - 3*xA^4*yA^2 - 3*xA^2*yA^4 - yA^6 - 6*xA^5*xB - 12*xA^3*yA^2*xB - 6*xA*yA^4*xB - 15*xA^4*xB^2 - 18*xA^2*yA^2*xB^2 - 3*yA^4*xB^2 - 20*xA^3*xB^3 - 12*xA*yA^2*xB^3 - 15*xA^2*xB^4 - 3*yA^2*xB^4 - 6*xA*xB^5 - xB^6 - 6*xA^4*yA*yB - 12*xA^2*yA^3*yB - 6*yA^5*yB - 24*xA^3*yA*xB*yB - 24*xA*yA^3*xB*yB - 36*xA^2*yA*xB^2*yB - 12*yA^3*xB^2*yB - 24*xA*yA*xB^3*yB - 6*yA*xB^4*yB - 3*xA^4*yB^2 - 18*xA^2*yA^2*yB^2 - 15*yA^4*yB^2 - 12*xA^3*xB*yB^2 - 36*xA*yA^2*xB*yB^2 - 18*xA^2*xB^2*yB^2 - 18*yA^2*xB^2*yB^2 - 12*xA*xB^3*yB^2 - 3*xB^4*yB^2 - 12*xA^2*yA*yB^3 - 20*yA^3*yB^3 - 24*xA*yA*xB*yB^3 - 12*yA*xB^2*yB^3 - 3*xA^2*yB^4 - 15*yA^2*yB^4 - 6*xA*xB*yB^4 - 3*xB^2*yB^4 - 6*yA*yB^5 - yB^6 = 0
Horrible, n'est-ce pas  ? Mais si on appelle Cailloux cette expression et si on pose

a=xA^2+yA^2 ; b=xB^2+yB^2 ; m=((xA+xB)^2 + (yA+yB)^2)/4 ; j=yA*xB - xA*yB

et qu'on demande

Cailloux == -4^3*(m-a*b)^3 -27*(j*(b-a))^2

on obtient la réponse

True

Cailloux ressemble beaucoup au discriminant d'une équation du troisième degré. Est-ce juste une coïncidence ?

cailloux

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonjour Michel Coste,
Et merci pour tes efforts conséquents.
De mon côté, j'avais tenté d'éliminer $z$ entre deux équations complexes (Équation donnant les 4 racines correspondant aux intersections hyperbole/cercle unité et annulation du polynôme dérivé) :
$$\begin{cases}\overline{a}\overline{b}z^4-(\overline{a}+\overline{b})z^3+(a+b)z-ab=0\\4\overline{a}\overline{b}z^3-3(\overline{a}+\overline{b})z^2+a+b=0\end{cases}$$
pour obtenir une équation entre $a$, $b$ et leurs conjugués.
J'étais très naïf :  rapidement les calculs (à la main) deviennent inextricables. J'ai abandonné.
En désespoir de cause, je me suis tourné "ailleurs" où un certain pappus m'a donné un sérieux coup de pouce qui m'a permis de réaliser la figure de mon dernier message.
À ce sujet, il serait intéressant de voir ce que donne ton équation pour le lieu de $B$ à $A$ fixé. Obtient-on le même genre de courbe ? C'est peut-être beaucoup demander...
P.S. Je ne vois pas où tu veux en venir avec ta "coïncidence"

Dernière modification par cailloux (10-07-2026 10:45:54)

Michel Coste

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Re : Fonction définie sur un cercle

Ce que donne l'équation en fixant A :

Je ne sais pas où pourrait mener le fait que l'équation calculée est le discriminant de
$$t^3+4\,(m-a\,b)\,t +2\,j\,(b-a)\;,$$avec $a$ et $b$ les carrés des distances de A et B à O, $m$ le carré de la distance de leur milieu à O et $j$ qui exprime l'alignement de O, A, B ; mais ça m'intrigue.

Dernière modification par Michel Coste (10-07-2026 06:06:58)

cailloux

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Re : Fonction définie sur un cercle

Merci pour cette confirmation. À vrai dire, j'étais un peu inquiet : ai-je posté n'importe quoi avec cette courbe ?
Sur ma figure, la courbe en question n'est qu'un misérable lieu au sens de GeoGebra dont on ne peut absolument rien faire.
Il faut bien reconnaître qu'en certaines circonstances, les calculs ont non seulement un grand intérêt mais sont indispensables.
Côté "coïncidence", c'est tout à fait étonnant. Il y a certainement quelque chose à creuser. Il fallait la trouver cette factorisation !
De mon côté, ça fait déjà un petit moment que j'ai atteint mon niveau d'incompétence ...
Merci encore.

cailloux

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonjour,
Les cas de dégénérescence surviennent lorsque l'hyperbole équilatère se réduit à deux droites orthogonales.
Son équation en complexe :
$$\overline{a}\overline{b}z^2-ab\overline{z}^2-(\overline{a}+\overline{b})z+(a+b)\overline{z}=0$$
On écrit que son centre d'affixe $\omega=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\overline{a}}+\dfrac{1}{\overline{b}}\right)$ lui appartient.
Après quelques calculs, on obtient :
$$(a\overline{a}-b\overline{b})(a\overline{b}-b\overline{a})=0$$
1) $|a|=|b|$. (Cas particulier de la question 1)).
2) $\dfrac{a}{b}$ réel soit $O,A,B$ alignés. (Cas évoqué au message 11) :

cailloux

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Re : Fonction définie sur un cercle

Bonjour,
Je reviens une dernière fois sur ce fil avec une nouvelle question.
Je viens de modifier la figure du message #13 pour y ajouter l'ellipse de foyers $A$ et $B$ passant par $M_1$. Elle est osculatrice en $M_1$ au cercle $\Gamma$ et en conséquence, traverse ce cercle.
Il me semble que techniquement, $M_1$ n'est pas un extremum et qu'il n'y a finalement jamais 3 extrema.
Si c'est le cas, on s'est donné beaucoup de mal pour pas grand chose ...
Qu'en pensez-vous ?