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Vahé

Invité

Une boule fermée incluse dans L1

Bonjour,
Voici l'énoncé du problème :

On se place sur X : L^1([0,1]) muni de la mesure de Lebesgue sur [0,1] et de la norme 1. On considère le sous-espace B : la boule unité fermée de L^2 pour sa norme 2. Montrer que B est un fermé de X

B est bien incluse dans X puisque si l'espace est de mesure finie, on a inclusion décroissante des L^p. Plus précisemment, par Hölder, si l'intégrale de |f|^p est finie sur [a,b] alors celle de |f| se majore par : intégrale de |f|^p sur [a,b] le tout puissance 1/p, fois (b-a)^(1/q).

Le problème est donc de montrer le côté "fermé" de B dans X. Autrement dit, il faut montrer que pour toute suite de fonctions fn, qui vérifient : ||fn||_2 inférieur ou égal à 1 pour tout n, et convergente vers f dans L1, implique f dans L2, et de norme 2 inférieure ou égale à 1. C'est là que je bloque.

Comment montrer, sur un espace de mesure finie, que si une suite de fonctions uniformément bornée par 1 en norme 2, convergente en norme 1, converge en norme 2?...

Glozi

Invité

Re : Une boule fermée incluse dans L1

Bonsoir,
Pour le point de départ, tu as bien montré que $B$ est un sous ensemble de $L^1$.
Par contre pour la suite, il faut juste montrer que si $(f_n)_n$ suite de $B$ converge (dans $L^1$) vers $f$, alors $f$ est dans $B$ (il ne s'agit pas de montrer que $(f_n)_n$ converge vers $f$ dans $L^2$ comme le laisse entendre ta dernière phrase).

Pour montrer que $f$ est dans $B$ tu peux commencer par voir que comme $f_n$ converge vers $f$ dans $L^1$ alors tu as une suite suite qui converge presque-sûrement vers $f$, ensuite tu peux appliquer le lemme de Fatou.
Bonne soirée

raph974

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Re : Une boule fermée incluse dans L1

Soit $(f_n)$ une suite de $B$ telle que $f_n\to f$ dans $L^1([0,1])$.
Alors il existe une sous-suite $(f_{n_k})$ telle que
\[
f_{n_k}(x)\to f(x)
\quad \text{p.p. sur } [0,1].
\]
Donc
\[
|f_{n_k}(x)|^2\to |f(x)|^2
\quad \text{p.p.}
\]
Par le lemme de Fatou,
\[
\int_0^1 |f|^2
\leq
\liminf_{k\to+\infty}\int_0^1 |f_{n_k}|^2.
\]
Or $f_{n_k}\in B$, donc $\|f_{n_k}\|_2\leq 1$, d'où
\[
\int_0^1 |f_{n_k}|^2\leq 1.
\]
Ainsi
\[
\int_0^1 |f|^2\leq 1.
\]
Donc $f\in L^2([0,1])$ et $\|f\|_2\leq 1$, c'est-à-dire $f\in B$.

Par conséquent, $B$ est fermé dans $L^1([0,1])$.

Rowaningham

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Re : Une boule fermée incluse dans L1

Bonjour,
Voici l'énoncé du problème :

On se place sur X : L^1([0,1]) muni de la mesure de Lebesgue sur [0,1] et de la norme 1. On considère le sous-espace B : la boule unité fermée de L^2 pour sa norme 2. Montrer que B est un fermé de X

B est bien incluse dans X puisque si l'espace est 5 letter words de mesure finie, on a inclusion décroissante des L^p. Plus précisemment, par Hölder, si l'intégrale de |f|^p est finie sur [a,b] alors celle de |f| se majore par : intégrale de |f|^p sur [a,b] le tout puissance 1/p, fois (b-a)^(1/q).

Le problème est donc de montrer le côté "fermé" de B dans X. Autrement dit, il faut montrer que pour toute suite de fonctions fn, qui vérifient : ||fn||_2 inférieur ou égal à 1 pour tout n, et convergente vers f dans L1, implique f dans L2, et de norme 2 inférieure ou égale à 1. C'est là que je bloque.

Comment montrer, sur un espace de mesure finie, que si une suite de fonctions uniformément bornée par 1 en norme 2, convergente en norme 1, converge en norme 2?...

L'utilisation d'une sous suite convergeant presque partout puis du lemme de Fatou règle effectivement le problème. On montre ainsi que la norme L2 de la limite reste inférieure ou égale à 1, ce qui suffit pour conclure que f appartient à B.

Dernière modification par Rowaningham (24-06-2026 02:20:19)