Forum de mathématiques - Bibm@th.net

capesman

Modérateur

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Messages : 152

Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$. Applications

Bonjour,

  Cette discussion est ouverte pour parler de la leçon du capes de mathématiques : Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$. Applications.

Capesman.

quasicercle

Membre

Inscription : 17-05-2023

Messages : 2

Re : Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$. Applications

Bonsoir,

Pensez-vous qu'il est adéquat dans cette leçon de parler des suites récurrentes matricielles de la forme $U_{n+1}=AU_n+B$ où $A\in M_d(\mathbb{R})$ et $B,U_n\in M_{d,1}(\mathbb{R})$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ ?

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 353

Re : Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$. Applications

Bonjour.

  Ce n'est pas le coeur de la leçon mais ça me semble tout à fait pertinent d'en parler.

F.

gog

Invité

Re : Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$. Applications

Bonjour,

Voici une proposition de plan pour cette leçon, n'hésitez pas à commenter et challenger mon travail :

Prérequis : généralités sur les suites numérique, analyse réelle niveau première, raisonnement par récurrence.
Niveau cible : 1ere/Terminale.

1. Définition et point fixe

   1. Définitions (suites définies par récurrence, intervalle stable par une fonction, exemple)

   2. Points fixes (définitions, exemples et représentation graphique)

   3. Propriétés : lien entre convergence d'une suite récurrente et point fixe

2. Étude d’un cas fondamental : suites arithmético-géométriques

   1. Définition et exemples

   2. Étude générale, remarque sur la vitesse de convergence

   3. Exemple, application, représentation graphique

3. Étude de la convergence

   1. Variation de la suite, lien avec la monotonie de $f$

   2. Théorème de la limite monotone et lien avec le point fixe

   3. Représentation graphique (escargot, spirale)

4. Ouverture

   1. Méthode de Newton pour recherche de zéro

   2. Suite de Héron

   3. Suite suite récurrence matricielle

Echolo

Invité

Re : Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$. Applications

Bonjour, je passe prochainement sur cette leçon et mon professeur voudrait que je parle de la représentation graphique et plus particulièrement de l’utilisation de la première bissectrice ( pourquoi on se sert de celle, pas d’une autre ) sauf que je ne trouve rien à ce sujet … Quelqu’un pourrait m’aider svp

Indy1496

Invité

Re : Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$. Applications

Bonjour, le terme n+2 de la suite s’obtient en prenant l’image du terme n+1 par f, lui-même étant l’image du terme n par f. Donc, dans un repère avec la représentation graphique de la fonction f, en partant de Un en abscisse, tu trouveras Un+1 en ordonnée, qu’il faut repasser en abscisse pour trouver à nouveau Un+2, etc... Or, pour pointer Un+1 sur l'axe des abscisses à partir de Un+1 en ordonnée, il suffit de prendre son symétrique par rapport à la première bissectrice qui a pour équation y=x.

Vahé

Invité

Re : Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$. Applications

Bonjour,

La première bissectrice présente son utilité lorsque le graphe de l'itératrice f est connu. Effectivement une fois que tu as le graphe, il suffit de voir que tout potentiel point fixe de f (donc toute poentielle limite de u_n) est en fait intersection de ce graphe avec la première bissectrice. Cela fournit une condition nécessaire pour être point fixe, vient après la discussion attractif/répulsif. Voir https://www.bibmath.net/dico/index.php? … tfixe.html pour illustration.

Autrement, sur le plan de cours, les suites matricielles (et plus largement l'analyse numérique) fournissent effectivement un bel exemple d'application. Cependant il faut que cela reste une application et je conseille tout comme gog d'en parler plutôt à la fin qu'au début de ton plan. Voir [tex]\underline{Ciarlet, Analyse numérique}[/tex] pour une référence solide.

Bonne journée,
Vahé