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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 Hier 22:06:55
- ππ÷6
- Invité
Enigme geometrique
Bonjour,
Comme souvent tard le soir, ce qui n'est pas courant à 12 ans, je me suis hier posé une question mathématique très simple à laquelle je n'ai pas trouvé de réponse :
On part d'un constat :
f(r)=πr²
f'(r)=2πr
On en vient à la fameuse question : quelle est la signification géométrique des primitives de πr²?
Bonne chance et merci
Dernière modification par yoshi (Aujourd'hui 09:11:24)
#3 Aujourd'hui 12:33:35
- Glozi
- Invité
Re : Enigme geometrique
Bonjour,
D'abord, je te félicite de te poser ce genre de questions aussi jeune !
Ton observation est très intéressante : la dérivée de l'aire du disque est égale à la circonference de ce dernier.
Je tiens à signaler que ce fait depend de la parametrisation choisie. Pour un carré de côté $a$ par exemple, son aire est $a^2$ et son périmètre de $4a$ et la dérivée de $a^2$ ne donne pas $4a$. Par contre si on pose $a=2b$ et qu'on choisit de calculer aire et périmètre en fonction de $b$, alors on trouve une aire de $4b^2$ et un périmètre de $8b$ cette fois ça marche !
En fait le principe général est le suivant : si on prend une surface plane (un carré, un disque, un polygone etc...) et qu'on épaissit cette dernière d'une petite épaisseur $\varepsilon>0$ alors la différence entre l'aire de la surface epaissie et la surface de base sera environ de $\varepsilon \times P$ où $P$ est le périmètre de la surface en question.
Cela marche également pour les solides (boule, cube, icosaèdre etc...). Si on prend un solide de volume $V$ et de surface $S$ et qu'on epaissit ce volume d'une largeur $\varepsilon$, alors le gain en volume est environ $\varepsilon \times S$.
Pour le disque (ou la boule), épaissir de $\varepsilon$ revient à augmenter le rayon de $\varepsilon$. Pour le carré ou le cube, épaissir de $\varepsilon$ revient à augmenter le côté $a$ de $2\varepsilon$ ou de manière équivalente, d'augmenter de demi côté $b$ de $\varepsilon$. C'est pourquoi le demi côté est la bonne parametrisation pour obtenir que la dérivée de l'aire donne le périmètre !
Revenons maintenant à ta question :
On peut d'abord se demander s'il existe un solide de volume $V=\frac{1}{3}\pi R^3$ et de surface $S=\pi R^2$, cela voudrait dire qu'on peut decouper/replier le disque autour d'un solide dont le volume est une primitive de $\pi R^2$. En fait, la réponse est négative. Pour voir cela, il faut savoir que parmi tous les solides de même surface fixée $S$ alors celui qui a le plus grand volume $V$ est la boule. Or une boule de surface $S=\pi R^2$ a un rayon $r=\frac{R}{2}$ et donc un volume de seulement $\frac{\pi}{6}R^3$ qui est trop petit devant le volume attendu $\frac{\pi}{3}R^3$.
En revanche, on peut interpréter la primitive $\frac{\pi}{3}R^3$ de la manière suivante. On empile des disques les uns sur les autres. À la hauteur $h$ on met un disque de rayon $h$. Alors on obtient à la limite un cône. Si on garde uniquement ce qui se passe entre les hauteurs $h=0$ et $h=R$ alors nous avons un cône de hauteur $R$ et de base un disque de rayon $R$. Le volume de ce cône est alors $\frac{1}{3}\pi R^3$.
Bonne journée !
#4 Aujourd'hui 13:49:55
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 404
Re : Enigme geometrique
Bonjour,
A 12 ans, tu sais déjà ce qu'est une primitive ? Impressionnant...
Hmm...
« Science sans conscience n'est que ruine de l'âme », citation qui ne date pas d'aujourd'hui (François Rabelais en 1532 dans son roman Pantagruel)
La notion de Primitive est intiment liée à celle d'intégrale...
Au passage, pour répondre dans le même sens que ta question, une primitive de $f(r)=\pi r^2$ (fonction donnant l'aire d'un disque de rayon r) est $F(r) = \dfrac 1 3 \pi r^3$ et ce serait le volume d'un quart de Boule de rayon r.
Réponse qui n'a pas beaucoup de de sens...
$4\pi r^2$, est l'aire latérale de la sphère de rayon r et une primitive en est : $\dfrac 4 3 \pi r^3$ volume de ladite sphère comme te l'a dit Rescassol...
Pour trouver le volume d'une sphère de rayon R à partir de l'aire du disque de rayon R ce qui fait davantage sens, on peut calculer le volume d'une demi-sphère et le multiplier par2...
L'idée est apparemment simple (la réalisation l'est beaucoup moins si 12 ans est bien ton âge) : empiler les disques successifs qu'on va considérer comme infiniment fins en partant de la base de rayon R jusqu'au sommet où le disque final réduit à 1 point aura pour rayon 0...
Mais ce rayon r de chaque "disque tranche" variant de R à 0, encore faut-il connaître l'expression de l'aire de ce disque en fonction du rayon de ce disque-tranche...
Je ne vais pas paraphraser la video dont voici le lien :
https://www.youtube.com/watch?v=RP4db1iAIeQ
Il y a d'autres méthodes.... Mais c'est ce que j'ai trouvé de plus clair et de plus simple.
On passe par l'écriture d'une intégrale (c'est le symbole $\int$ ) dont le calcul s'effectue en soustrayant les valeurs de la primitive (contenue entre les crochets [ ] pour le rayon R à celle de la primitive pour le rayon 0 (que l'auteur n'écrit pas parce que si le rayon vaut 0, la primitive en question aussi...)
C'est le niveau Terminale avec option Maths + Enseignement de spécialité Maths.
Si tu comprends le principe ce sera déjà bien...
@+
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